Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Запишите обыкновенное ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка в общем виде и раскройте смысл всех входящих в уравнение величин.

2. Как определяется порядок ДУ высших порядков?

3. Дать определение решения ДУ высшего порядка.

4. Записать ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка, разрешенное относительно производной.

5. Дать определение первого интеграла ДУ.

6. Привести простейший пример ДУ второго порядка, разрешенного относительно производной, и представить решение такого уравнения.

7. Сколько произвольных постоянных содержит общее решение ДУ второго порядка?

8. Объяснить назначение начальных условий ДУ.

9. В каком виде представляется общее решение ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка?

10.Сколько произвольных постоянных содержит общее решение ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка?

11.Дать определение частного решения ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка.

12.Сколько начальных условий необходимо задавать для получения частного решения ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка?

13.Дать формальное определение общего решения ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка.

14.Как определяются условия существования и единственности решения ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка?

15.Сформулировать теорему Коши для ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка.

16.Записать задачу Коши для ДУ Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка.

17.Существуют ли общие методы интегрирования ДУ высших порядков произвольного вида?

18.Что дает понижение порядка ДУ для его решения?

19.Записать общий вид ДУ, разрешенного относительно старшей производной неизвестной функции и не содержащего ни самой функции, ни ее остальных производных. Как интегрируется такое ДУ?

20.Записать общий вид ДУ, не содержащего искомой функции с ее младшими производными.

21.Описать решение ДУ, не содержащего искомой функции с ее младшими производными.

22.Привести общий вид ДУ, не содержащего независимую переменную.

23.Как решается ДУ, не содержащее независимую переменную?

24.Записать общий вид ДУ второго порядка, однородного относительно искомой функции с ее производными.

25.Описать решение ДУ второго порядка, однородного относительно искомой функции с ее производными.

26.Как решаются ДУ, приводящиеся к точным производным?

27.Дать определение ЛДУ.

28.Записать общий вид ЛДУ.

29.Записать вид ЛДУ, разрешенного относительно старшей производной.

30.Что можно сказать о существовании и единственности решения ЛДУ?

31.Какое уравнение называется ОЛДУ?

32.Привести общий вид ОЛДУ.

33.Записать общий вид НЛДУ.

34.Привести общий вид ЛДО.

35.Записать символически ЛДО.

36.Сформулировать и доказать свойство аддитивности ЛДО.

37.Сформулировать и доказать свойство однородности ЛДО.

38.Какой результат применения ЛДО к линейной комбинации функций?

39.Записать НЛДУ с помощью ЛДО.

40.Записать ОЛДУ с помощью ЛДО.

41.Дать определение линейно зависимых функций.

42.Какое условие линейной зависимости функций?

43.Дать определение линейно независимых функций.

44.Записать определитель Вронского для системы функций.

45.Какие существуют обозначения для определителя Вронского системы функций?

46.Сформулировать необходимое условие линейной зависимости функций на основании определителя Вронского.

47.Сформулировать необходимое условие линейной независимости функций на основании определителя Вронского.

48.Сформулировать общие теоремы об ОЛДУ.

49.Сформулировать следствие общих теорем 1 и 2 об ОЛДУ.

50.Сформулировать общую теорему 3 об ОЛДУ.

51.Сформулировать следствие 1 общей теоремы 3 об ОЛДУ.

52.Сформулировать следствие 2 общей теоремы 3 об ОЛДУ.

53.Дать определение фундаментальной системы решений для ОЛДУ.

54.Сформулировать теоремы о ФСР для ОЛДУ.

55.Каждое ли ОЛДУ имеет ФСР?

56.Сколько существует ФСР для ОЛДУ?

57.Какое линейное преобразование ФСР называется неособенным?

58.Сформулировать и доказать теорему об общем решении ОЛДУ.

59.Записать вид общего решения ОЛДУ.

60.Любое ли решение ОЛДУ можно представить в виде линейной комбинации функций, образующих ФСР?

61.Какое пространство образует множество всех решений ОЛДУ?

62.Как определяется базис пространства решений ОЛДУ?

63.Укажите размерность пространства решений ОЛДУ.

64.Какое ДУ называется ОЛДУ с ПК?

65.Привести общий вид ОЛДУ с ПК.

66.Какая функция может быть решением ОЛДУ с ПК?

67.Как определяется характеристическое уравнение ОЛДУ с ПК?

68.Что называется характеристическим многочленом ОЛДУ с ПК?

69.Сколько корней имеет характеристическое уравнение ОЛДУ с ПК?

70.От чего зависит вид решения ОЛДУ с ПК?

71.Какие существуют случаи корней характеристического уравнения ОЛДУ с ПК?

72.Представьте ФСР решения ОЛДУ с ПК для случая простых вещественных корней характеристического уравнения.

73.Как записывается общее решение ОЛДУ с ПК для случая простых вещественных корней характеристического уравнения?

74.Какое линейное преобразование надо выполнить в случае простых комплексных корней характеристического уравнения, чтобы от комплекснозначных решений ОЛДУ с ПК перейти к вещественным решениям?

75.Запишите общее решение ОЛДУ с ПК для случая простых комплексных корней характеристического уравнения.

76.Сформулировать лемму о решениях ОЛДУ с ПК для случая кратных вещественных корней характеристического уравнения.

77.Как образуется ФСР ОЛДУ с ПК для случая кратных вещественных корней характеристического уравнения?

78.Как записывается общее решение ОЛДУ с ПК для случая кратных вещественных корней характеристического уравнения?

79.Запишите общее решение ОЛДУ с ПК для случая кратных комплексных корней характеристического уравнения.

80.Сформулировать общие теоремы о НЛДУ.

81.Доказать общую теорему 1 о НЛДУ.

82.Доказать общую теорему 2 о НЛДУ.

83.Сформулировать и доказать теорему об общем решении НЛДУ.

84.Какой вы знаете общий метод интегрирования НЛДУ?

85.Обосновать метод вариации произвольных постоянных для интегрирования НЛДУ.

86.Записать вид общего решения НЛДУ, которое находится методом вариации произвольных постоянных.

87.Какое уравнение называется НЛДУ с ПК?

88.Привести общий вид НЛДУ с ПК.

89.Какие существуют методы интегрирования НЛДУ с ПК?

90.Какие рассматриваются случаи правой части НЛДУ с ПК?

91.Как называется метод интегрирования НЛДУ и с ПК?

92.В чем заключается преимущество метода неопределенных коэффициентов перед методом вариации произвольных постоянных при интегрировании НЛДУ с ПК?

93.Как интегрируется НЛДУ с ПК и с правой частью в виде многочлена?

94.Какой вид имеет решение НЛДУ с ПК и с правой частью в виде многочлена при отсутствии нулевых корней?

95.Записать вид частного решения НЛДУ с ПК и с правой частью в виде многочлена при наличии нулевых корней.

96.Как интегрируется НЛДУ с ПК и с правой частью в виде произведения полинома и экспоненты?

97.Какой вид имеет частное решение НЛДУ с ПК и с правой частью в виде произведения полинома и экспоненты?

98.Как интегрируется НЛДУ с ПК и с правой частью в виде произведения полинома, экспоненты и гармонической функции?

99.Какой вид имеет частное решение НЛДУ с ПК и с правой частью в виде произведения полинома, экспоненты и гармонической функции?

100.Как записывается общее решение НЛДУ с ПК и с правой частью специального вида?

Сокращения:

ДУ – дифференциальные уравнения;

ЛДО – линейный дифференциальный оператор;

ЛДУ – линейные дифференциальные уравнения;

НЛДУ – неоднородные ЛДУ;

ОЛДУ – однородные ЛДУ;

ПК – постоянные коэффициенты;

ФСР – фундаментальная система решений.