Критерий положительной определённости квадратичной формы

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.

1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения Mi+1/Mi определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.[1]

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) - квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени Критерий положительной определённости квадратичной формы - №1 - открытая онлайн библиотека , и нет элементов матрицы степени большей чем Критерий положительной определённости квадратичной формы - №1 - открытая онлайн библиотека , то Критерий положительной определённости квадратичной формы - №1 - открытая онлайн библиотека - степень λ-матрицы.

Критерий положительной определённости квадратичной формы - №4 - открытая онлайн библиотека

Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:

Критерий положительной определённости квадратичной формы - №5 - открытая онлайн библиотека

В случае если определитель матрицы Критерий положительной определённости квадратичной формы - №6 - открытая онлайн библиотека отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.

Аннули́рующий многочле́н для ма́трицы - многочлен, значение которого для данной квадратной матрицы равно нулевой матрице. Теорема Гамильтона-Кэли утверждает, что значение характеристического многочлена для квадратной матрицы равно нулевой матрице, а значит для каждой квадратной матрицы существует, по крайней мере, один аннулирующий многочлен степени, совпадающей с порядком матрицы.

Теоре́ма Га́мильтона - Кэ́ли - известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

  Теорема Гамильтона - Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если Критерий положительной определённости квадратичной формы - №7 - открытая онлайн библиотека - квадратная матрица и Критерий положительной определённости квадратичной формы - №8 - открытая онлайн библиотека её характеристический многочлен, то Критерий положительной определённости квадратичной формы - №9 - открытая онлайн библиотека .  

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

Критерий положительной определённости квадратичной формы - №10 - открытая онлайн библиотека

тогда

Критерий положительной определённости квадратичной формы - №11 - открытая онлайн библиотека

Критерий положительной определённости квадратичной формы - №12 - открытая онлайн библиотека

  • Теорема Гамильтона - Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.
  • Теорема Гамильтона - Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

Рассмотрим присоединённую (союзную) λ-матрицу Критерий положительной определённости квадратичной формы - №13 - открытая онлайн библиотека , где Критерий положительной определённости квадратичной формы - №14 - открытая онлайн библиотека - единичная матрица, тогда согласно определению присоединённой матрицы

Критерий положительной определённости квадратичной формы - №15 - открытая онлайн библиотека

Это означает, что Критерий положительной определённости квадратичной формы - №16 - открытая онлайн библиотека -матрица Критерий положительной определённости квадратичной формы - №17 - открытая онлайн библиотека делится без остатка на Критерий положительной определённости квадратичной формы - №18 - открытая онлайн библиотека , а значит, согласно следствию из теоремы Безу для Критерий положительной определённости квадратичной формы - №16 - открытая онлайн библиотека -матриц Критерий положительной определённости квадратичной формы - №20 - открытая онлайн библиотека , и следовательно Критерий положительной определённости квадратичной формы - №9 - открытая онлайн библиотека .