Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями

Здесь рассматривается возможное влияние нескольких факторов на некоторую переменную Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №1 - открытая онлайн библиотека . Как и в однофакторном анализе, факторы могут быть и числовыми, но и в этом случае учитывается только, сколько различных значений (уровней) принимает фактор, а не величина этих значений. Рассмотрим наиболее простую двухфакторную модель.

Изучаем влияние факторов А и В на переменную Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №2 - открытая онлайн библиотека . Модель можно представить в виде

Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №3 - открытая онлайн библиотека , (8)
где Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №4 - открытая онлайн библиотека некоторые константы, Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №5 - открытая онлайн библиотека случайные ошибки, Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №6 - открытая онлайн библиотека число уровней факторов А и В соответственно, а Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №7 - открытая онлайн библиотека наблюдение, полученное на i-м уровне фактора А и j-м уровне фактора В.

Случайные ошибки удовлетворяют тем же требованиям, что и в преды-дущем пункте.

Предположим, что между факторами нет взаимодействия. Это означает, что влияние одного фактора на величину Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №8 - открытая онлайн библиотека не зависит от того, на каком уровне находится другой фактор. От этого допущения нельзя отказаться, так как при однократных наблюдениях слишком мало исходных данных для оценки более сложной модели. Тогда уравнение (8) можно записать в виде

Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №9 - открытая онлайн библиотека . (9)

Здесь Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №10 - открытая онлайн библиотека некоторые константы, имеющие следующий смысл: Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №11 - открытая онлайн библиотека общее среднее, Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №12 - открытая онлайн библиотека эффект фактора А на его i-м уровне, Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №13 - открытая онлайн библиотека эффект фактора В на его j-м уровне.

Пусть мы хотим проверить предположение о том, что фактор А или В не влияет на переменную Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №14 - открытая онлайн библиотека . Иначе говоря, нужно проверить гипотезы о равен-стве нулю соответствующих эффектов Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №15 - открытая онлайн библиотека и Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №16 - открытая онлайн библиотека .

Для этого нужно вычислить следующие величины:
Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №17 - открытая онлайн библиотека средние по строкам;
Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №18 - открытая онлайн библиотека средние по столбцам;
Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №19 - открытая онлайн библиотека общее среднее.

Эти величины вместе с исходными данными обычно записывают в таблицу 4.

Таблица 4. Исходные данные

j i J Средние по строке
Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №20 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №21 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №22 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №23 - открытая онлайн библиотека
Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №24 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №25 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №26 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №23 - открытая онлайн библиотека
 
I Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №28 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №29 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №30 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №23 - открытая онлайн библиотека
Средние по столбцу Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №32 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №33 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №34 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №35 - открытая онлайн библиотека

Далее вычисляем Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №36 - открытая онлайн библиотека . Эти величины являются несмещенными оценками соответствующих параметров Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №37 - открытая онлайн библиотека модели (9). Поэтому, если гипотезы Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №38 - открытая онлайн библиотека верны (т.е. эффекты равны нулю), то Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №39 - открытая онлайн библиотека не должны значимо отличаться от нуля.

Алгоритм проверки гипотез, как и в предыдущем пункте, основан на Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №40 - открытая онлайн библиотека - критерии и состоит в следующем. Вычисляем

а) суммы квадратов

Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №41 - открытая онлайн библиотека .
Здесь Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №42 - открытая онлайн библиотека характеризуют величину эффектов, Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №43 - открытая онлайн библиотека полная сумма квадратов, а остаточная сумма Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №44 - открытая онлайн библиотека служит для оценки дисперсии ошибок наблюдений при условиях а), б), в) из предыдущего пункта;

б) средние суммы квадратов:
Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №45 - открытая онлайн библиотека ;

в) значения Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №46 - открытая онлайн библиотека - критериев для гипотез Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №47 - открытая онлайн библиотека : Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №48 - открытая онлайн библиотека .

Эти величины подчиняются F-распределению с числами степеней свободы, равными mA, mR и mB, mR соответственно. Здесь mA= I– 1, mB= J– 1 , mR= mAmR.

Зададим уровень значимости α и найдем в таблице квантилей F– рас-пределения критические значения Fкрит для этих степеней свободы (для каждой гипотезы свое критическое значение, причем γ = 1 - α).

Правило
Если FA> Fкрит, то гипотеза HAотвергается, если FA≤ Fкрит, то гипотеза принимается.
Аналогичное правило для HB .

Результаты дисперсионного анализа обычно сводят в таблицу 5.

Таблица 5. Дисперсионный анализ

Источник изменчивости Сумма квадратов Степени свободы Средняя сумма квадратов F-отношение
фактор А Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №49 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №50 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №51 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №52 - открытая онлайн библиотека

Окончание табл. 5

Источник изменчивости Сумма квадратов Степени свободы Средняя сумма квадратов F-отно-шение
фактор В Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №53 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №54 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №55 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №56 - открытая онлайн библиотека
ошибка эксперимента Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №57 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №58 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №59 - открытая онлайн библиотека
Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №60 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №61 - открытая онлайн библиотека

Пример

Таблица 6. Исходные данные

В А Средние по строке
2,68 3,29 2,88 4,45 3,32
4,12 4,96 5,09 5,22 4,85
5,52 4,50 5,42 5,29 5,18
Средние по столбцу 4,11 4,25 4,46 4,99 4,45

Таблица 7. Дисперсионный анализ

Источник изменчивости Сумма квадратов Степени свободы Средняя сумма квадратов F-отношение
фактор А Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №62 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №63 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №64 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №65 - открытая онлайн библиотека
фактор В Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №66 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №67 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №68 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №69 - открытая онлайн библиотека
ошибка эксперимента Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №70 - открытая онлайн библиотека Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №71 - открытая онлайн библиотека
Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №72 - открытая онлайн библиотека

Задаем уровень значимости Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №73 - открытая онлайн библиотека и находим из таблиц Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №74 - открытая онлайн библиотека для каждой из гипотез.

Для гипотезы Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №75 - открытая онлайн библиотека : Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №76 - открытая онлайн библиотека .

Для гипотезы Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №77 - открытая онлайн библиотека : Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №78 - открытая онлайн библиотека .

Очевидно, в обоих случаях Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №79 - открытая онлайн библиотека - отношение меньше, чем Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №80 - открытая онлайн библиотека (см. таблицу 7). Следовательно, на уровне значимости 0,05 экспериментальные данные не противоречат этим гипотезам. Иначе говоря, следует принять гипотезы о том, что факторы А и В не влияют на переменную Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями - №81 - открытая онлайн библиотека .