Рекмендации по решению д. з. №3

Требуется

1) Построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мx.

Изобразить изогнутую ось балки.

2) Произвести расчет на прочность и определить допускаемую нагрузку.

3) Используя правило Верещагина, определить перемещение на правом конце балки:

а) прогиб балки δ в вариантах 1-12,

б) угол поворота сечения θ в вариантах 13-24.

№1, сеч.№1 №2, сеч.№2 №3,сеч.№3 №4,сеч.№4

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№5, сеч.№5 №6, сеч.№1 №7, сеч.№2 №8, Сеч.№3

№9, сеч.4 №10, сеч.5 №11, сеч.1 №12, сеч.2

№13, сеч.3 №14, сеч.4 №15, сеч.5 №16, сеч.1

№17, сеч.2 №18, сеч.3 №19, сеч.4 №20, сеч.5

№21, сеч.1 №22, сеч.2 №23, сеч.3 №24, сеч.4

__________________

Варианты поперечных сечений

№1 №2 №3 №4 №5

D = h=0,1D

ПОЯСНЕНИЯ К Д. З. №3

ИЗГИБ

Основные положения

Если в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент, а все остальные внутренние суммарные силовые факторы равны нулю, то такой вид нагружения называется чистым изгибом(рис.1а). Изгибающий момент носит индекс той оси, вокруг которой он действует (рис. 1б). Обычно обозначают: z – ось бруса, y – вертикальная ось, x – горизонтальная ось.

Если кроме изгибающего момента в сечении возникает ещё и поперечная, или перерезывающая сила , то это поперечный изгиб (рис. 2).

Рис. 2

Как видно из рисунка 3, при изгибе одни слои растягиваются, другие сжимаются, а разделяет их нейтральный слой, длина которого остается неизменной. След нейтрального слоя на поперечном сечении называется нейтральной линией

После нагружения

Рис. 3

Формулы для определения напряжений при изгибе

От изгибающего момента в поперечном сечении бруса возникают нормальные напряжения , которые определяются по формуле .

Эти нормальные напряжения изменяются по высоте сечения бруса по линейному закону, y – расстояние от нейтральной линии до слоя, в котором определяется напряжение. Нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Наибольшие напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии Обозначим , это моментом сопротивления изгибу, геометрическая характеристика сечения, тогда

Поскольку в районе нейтральной линии материал напряжен слабо, то рациональными сечениями при изгибе будут профили, у которых материал в районе нейтральной линии частично удален и большая часть площади сечения расположена на достаточном удалении от нейтральной линии. Примером таких рациональных сечений могут служить, например, стандартные профили двутавр и швеллер, рис. 4.

Рис. 4

Расчет на прочность при изгибе

Поверочный расчет

Даны размеры конструкции, материал, нагрузки. Требуется определить

коэффициент запаса n.

Для пластичных материалов определяем коэффициент запаса по текучести .

Для хрупких материалов определяем коэффициент запаса по разрушению .

Предел текучести или предел прочности заданы, максимальное напряжение определяем из решения задачи.

Проектировочный расчет

Размеры сечения и допускаемые нагрузки определяются из условия прочности

, где - допустимое напряжение, которое либо задано, либо определяется его как

- для пластичных материалов, - для хрупких материалов.

- максимальное напряжение, его определяем из решения задачи в общем виде через искомый параметр.

ТАБЛИЦА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ

Определение перемещений с помощью

правила Верещагина

1. Чтобы найти перемещение по правилу Верещагина, надо в том сечении и в том направлении, в котором определяется перемещение, приложить единичный силовой фактор. Для линейного перемещения прикладываем единичную силу, для углового - единичный момент, для взаимного перемещения прикладываем два взаимных единичных фактора.

2. Построить эпюры изгибающих моментов от внешних сил и от единичного фактора (т. е. эпюры Мx и М1).

3. Эти эпюры по участкам перемножить, что означает - площадь одной эпюры умножается на ординату другой под центром тяжести первой.

Та эпюра, на которой берем ординату, в пределах участка должна быть линейной и не иметь излома.

Если эпюры расположены по разные стороны балки, то их произведение будет с минусом.

Конечный результат расчета со знаком минусом означает, что перемещение будет в сторону, противоположную направлению единичного фактора.

4. Если эпюра Мx сложная, то ее можно «расслоить», т. е. разбить на такие фигуры, для которых известна величина площади и положение центра тяжести этой площади. Это, например, прямоугольник, треугольник и некоторые другие фигуры.

Площади элементарных фигур и положение их центра тяжести

Примеры расслоения эпюр

РЕКМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ Д. З. №3

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1) Построить эпюры Qy, Мx. Определить (Мx)max.

2) Для заданного сечения определить σmax=(Мx)max/Wx, а затем

определить допускаемую нагрузку из

УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ

σmax≤[σ],

где допустимое напряжение определяется по формуле

[σ]=σт/nт.

Это проектировочный расчет.

3) С помощью правила Верещагина найти

либо линейное перемещение δ, мм (в этом случае прикладываем единичную силу),

либо угловое перемещение θ, радиан ( в этом случае прикладываем единичный момент).

Эпюру Мx расслаиваете, т.е. разбиваете ее на простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник, параболический треугольник (с экстремумом в вершине), «горбушку».

Площади этих простейших фигур с эпюры Мx умножаете на ординаты эпюры М1 от единичного фактора (т.е. от единичной силы или единичного момента) под центром тяжести этих простейших фигур. Результаты суммируете с учетом знака.

Когда «срезаете» горбушку, мысленно считаете, что она расположена не наклонно, а горизонтально. Экстремум не учитываем. Для этой срезанной горбушки всегда

площадь равна (2/3)LH, где L – горизонтальный размер участка под горбушкой,

Н - высота горбушки, всегда равная qL2/8. НО L может равняться 0,5l, l, 2l, 3l и т. д.

Ординаты на единичной эпюре определяйте, как умеете (из пропорций, отношений

и т.д.). Я показываю ОДИН ИЗ СПОСОБОВ определения ординаты на единичной эпюре.

Если эта эпюра в виде треугольника, то любая ордината этого треугольника равна произведению реакции от единичного фактора (т.е. от единичной силы или момента) или самой единичной силы, умноженной на расстояние от этой реакции (силы) до того места, где ищем ординату. Этот фактор приложен в вершине треугольника, смотри рис. ниже.