Смешанные системы массового обслуживания

СМО с ограниченным временем ожидания характеризуется тем, что уменьшение числа заявок в ней происходит как в результате завершения обслуживания одной из заявок, так и в результате ухода заявок из очереди с интенсивностью v.

Если число заявок в системе k<n, то lk,k-1= km.. Если в очереди имеется r заявок (k=n+r), то переход из со­стояния Sk в состояние Sk-1 осуществляется или в результате за­вершения обслуживания одной из п заявок, или в результате ухода из очереди одной из r заявок, то есть

Смешанные системы массового обслуживания - №1 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, для СМО с ограниченным временем ожидания

Смешанные системы массового обслуживания - №2 - открытая онлайн библиотека (2.45)

Граф состояний системы изображен на рис. 2.6 (п=2).

Подставляя выражения (2.45) в формулы (2.16) и 2.17), как и в случае СМО с конечной очередью, получим

Смешанные системы массового обслуживания - №3 - открытая онлайн библиотека (2.46)

Смешанные системы массового обслуживания - №4 - открытая онлайн библиотека (2.47)

 
  Смешанные системы массового обслуживания - №5 - открытая онлайн библиотека

Смешанные системы массового обслуживания - №6 - открытая онлайн библиотека . (2.48)

Определим основные показатели эффективности системы. Сред­няя длина очереди

Смешанные системы массового обслуживания - №7 - открытая онлайн библиотека (2.49)

На каждую из L заявок, находящихся в очереди, действует по­ток уходов интенсивности v, то есть в среднем в единицу времени из очереди уходит Lv заявок. Следовательно, абсолютная пропуск­ная способность

Смешанные системы массового обслуживания - №8 - открытая онлайн библиотека ; (2.50)

относительная пропускная способность

Смешанные системы массового обслуживания - №9 - открытая онлайн библиотека (2.51)

вероятность отказа в обслуживании

Смешанные системы массового обслуживания - №10 - открытая онлайн библиотека ; (2.52)

среднее число занятых приборов

Смешанные системы массового обслуживания - №11 - открытая онлайн библиотека ; (2.53)

вероятность того, что любая заявка будет обслужена,

Смешанные системы массового обслуживания - №12 - открытая онлайн библиотека Смешанные системы массового обслуживания - №13 - открытая онлайн библиотека (2.54)

При вычислениях в формулах (2.46) и (2.49) в качестве при­ближенного значения для бесконечных сумм берется сумма конеч­ного числа l–1 членов, а остаток оценивается следующим об­разом :

Смешанные системы массового обслуживания - №14 - открытая онлайн библиотека .

Из выражений (2.50) – (2.54) следует, что основные показа­тели СМО можно вычислить через Ротк, причём для определения Ротк используют таблицы с тремя входами: n, a, b.

СМО с ограниченным временем пребывания характеризуется тем, что заявка может уйти необслуженной как из очереди, так и после начала обслуживания. Интенсивность перехода данной си­стемы из состояния Sk в Sk-1 (уменьшения числа заявок)

Подставляя выражения (2.9) и (2.55) в формулы (2.16) и (2.17), можно определить вероятности состояний данной системы.

Если одновременно накладывается ограничение на время ожи­дания (пребывания) и длину очереди, то число состояний системы конечно и равно п+т+1, а интенсивности переходов определяют­ся формулами (2.45) или (2.55), в которых r = 1, 2, . . ., т. Типич­ным примером системы данного типа является вычислительное устройство, которое может одновременно обрабатывать п сооб­щений и имеет буферную память для хранения т сообщений. По­ток сообщений – простейший поток интенсивности l, время обра­ботки одного сообщения Смешанные системы массового обслуживания - №15 - открытая онлайн библиотека , информация теряет свою ценность че­рез время Смешанные системы массового обслуживания - №16 - открытая онлайн библиотека . Граф состояний для случая n=2, m=3 изображен на рис. Смешанные системы массового обслуживания - №17 - открытая онлайн библиотека
2.7.