Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

§ Теоретико-множественное определение - №1 - открытая онлайн библиотека

§ Теоретико-множественное определение - №2 - открытая онлайн библиотека

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

§ Теоретико-множественное определение - №1 - открытая онлайн библиотека

§ Теоретико-множественное определение - №4 - открытая онлайн библиотека

§ Теоретико-множественное определение - №5 - открытая онлайн библиотека

§ Теоретико-множественное определение - №6 - открытая онлайн библиотека

Операции над натуральными числами Теоретико-множественное определение - №7 - открытая онлайн библиотека

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

§ Сложение. Cлагаемое + Слагаемое = Сумма

§ Умножение. Множитель * Множитель = Произведение

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

§ Вычитание. Уменьшаемое Теоретико-множественное определение - №8 - открытая онлайн библиотека Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).

§ Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное Теоретико-множественное определение - №9 - открытая онлайн библиотека и остаток Теоретико-множественное определение - №10 - открытая онлайн библиотека от деления Теоретико-множественное определение - №11 - открытая онлайн библиотека на Теоретико-множественное определение - №12 - открытая онлайн библиотека определяются так: Теоретико-множественное определение - №13 - открытая онлайн библиотека , причём Теоретико-множественное определение - №14 - открытая онлайн библиотека . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе Теоретико-множественное определение - №11 - открытая онлайн библиотека можно представить в виде Теоретико-множественное определение - №16 - открытая онлайн библиотека , т.е. можно было бы считать частным Теоретико-множественное определение - №17 - открытая онлайн библиотека , а остатком = Теоретико-множественное определение - №11 - открытая онлайн библиотека .

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

1. Коммутативность сложения. Теоретико-множественное определение - №19 - открытая онлайн библиотека

2. Коммутативность умножения. Теоретико-множественное определение - №20 - открытая онлайн библиотека

3. Ассоциативность сложения. Теоретико-множественное определение - №21 - открытая онлайн библиотека

4. Ассоциативность умножения. Теоретико-множественное определение - №22 - открытая онлайн библиотека

5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Теоретико-множественное определение - №23 - открытая онлайн библиотека

Натуральные числа в русском языке Теоретико-множественное определение - №7 - открытая онлайн библиотека

§ Числа от 1 до 10 - один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).

§ Числа от 11 до 20 - одиннадцать (11), двенадцать (12), тринадцать (13), четырнадцать (14), пятнадцать (15), шестнадцать (16), семнадцать (17), восемнадцать (18), девятнадцать (19), двадцать (20).

§ Числа от 30 до 90 - тридцать (30), сорок (40), пятьдесят (50), шестьдесят (60), семьдесят (70), восемьдесят (80), девяносто (90).

§ Числа от 100 до 900 - сто (100), двести (200), триста (300), четыреста (400), пятьсот (500), шестьсот (600), семьсот (700), восемьсот (800), девятьсот (900).

§ Большие числа - тысяча, миллион, миллиард, триллион.

§

§ Рациональные числа

§

§ Отрицательные числа.Целые отрицательные числа.

§ Дробные отрицательные числа. Положительные числа.

§ Рациональные числа.

§

§ Отрицательные числа появляются, когда из меньшего числа вычитают большее, например:

§

§ 10 – 15 = – 5 .

§

§ Знак «минус» перед 5 показывает, что это число отрицательное.

§
Ряд целых отрицательных чисел бесконечен:

§

§ –1, –2, –3, – 4, –5, ...

§
Целые числа - это натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль:

§

§ ... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

§

§ Дробные отрицательные числа появляются, например, когда из меньшего дробного числа вычитают большее:

§ Теоретико-множественное определение - №25 - открытая онлайн библиотека

§ Можно также сказать, что дробные отрицательные числа появляются в результате деления целого отрицательного числа на натуральное:

§ Теоретико-множественное определение - №26 - открытая онлайн библиотека

§ Положительные числа ( целые и дробные ) в противоположность отрицательным числам ( целым и дробным ) рассматриваются в арифметике.

§

§ Рациональные числа – это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Более точное определение рациональных чисел, принятое в математике, следующее:

§ Число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n , где mиnцелые числа.