Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения

Пример.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №1 - открытая онлайн библиотека - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №2 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №3 - открытая онлайн библиотека - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №4 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №5 - открытая онлайн библиотека - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решениемдифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С0).

Определение. Решение вида у = j(х, С0) называется частным решениемдифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши(Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №6 - открытая онлайн библиотека , то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №7 - открытая онлайн библиотека уравнения Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №6 - открытая онлайн библиотека , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение j(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Определение. Интеграломдифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием. Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №9 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №10 - открытая онлайн библиотека .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №11 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №12 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №13 - открытая онлайн библиотека

Теперь интегрируем: Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №14 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №15 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №16 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №17 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №18 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №19 - открытая онлайн библиотека - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №20 - открытая онлайн библиотека

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №21 - открытая онлайн библиотека

Определение. Интегральной кривойназывается график y = j(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Определение. Особым решениемдифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №22 - открытая онлайн библиотека Найти особое решение, если оно существует.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №23 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №24 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №25 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №26 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №27 - открытая онлайн библиотека

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №28 - открытая онлайн библиотека

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC ¹ 0.

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №2 - открытая онлайн библиотека

Если такое соотношение преобразовать к виду Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №6 - открытая онлайн библиотека то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №31 - открытая онлайн библиотека

Функцию f(x,y) представим в виде: Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №32 - открытая онлайн библиотека тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №33 - открытая онлайн библиотека

- это так называемая дифференциальная формауравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

Уравнения вида y’ = f(x).

Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения - №34 - открытая онлайн библиотека . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С.