Групповая скорость

Фазовая скорость – это скорость распространения фронта волны. Если сигнал обрывается на каком-то моменте времени, то теряем монохроматичность. Тогда мы можем говорить о спектре частот, с несущей частотой Групповая скорость - №1 - открытая онлайн библиотека и с разбросом частот Групповая скорость - №2 - открытая онлайн библиотека .

Спектральную характеристику такого сигнала можно представить следующим образом:

 
  Групповая скорость - №3 - открытая онлайн библиотека

Учитывая дисперсию среды (зависимость свойств среды от частоты), получаем искажение сигнала при прохождении среды. Каждая частота распространяется со своей скоростью в среде. Мы будем следить за распространением максимальной амплитуды.

Групповая скорость - №4 - открытая онлайн библиотека , где фаза Групповая скорость - №5 - открытая онлайн библиотека

Зависимость Групповая скорость - №6 - открытая онлайн библиотека означает дисперсию среды. Разложим Групповая скорость - №6 - открытая онлайн библиотека в ряд:

Групповая скорость - №8 - открытая онлайн библиотека

- такое разложение означает сильную дисперсию. Заметим, что Групповая скорость - №9 - открытая онлайн библиотека . Разложим фазу Групповая скорость - №10 - открытая онлайн библиотека в ряд по Групповая скорость - №11 - открытая онлайн библиотека до линейных слагаемых:

Групповая скорость - №12 - открытая онлайн библиотека

Считаем, что на краях интервала Групповая скорость - №13 - открытая онлайн библиотека сигнал спадает достаточно быстро:

Групповая скорость - №14 - открытая онлайн библиотека

Групповая скорость - №15 - открытая онлайн библиотека

Групповая скорость - №16 - открытая онлайн библиотека ,

где Групповая скорость - №17 - открытая онлайн библиотека , а Групповая скорость - №18 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Групповая скорость - №19 - открытая онлайн библиотека

При Групповая скорость - №20 - открытая онлайн библиотека имеем максимум амплитуды. Скорость перемещения максимума амплитуды находим из условия Групповая скорость - №21 - открытая онлайн библиотека

Групповая скорость - №17 - открытая онлайн библиотека

Тогда групповая скорость:

Групповая скорость - №23 - открытая онлайн библиотека

Фазовая скорость:

Групповая скорость - №24 - открытая онлайн библиотека

Групповая скорость – это скорость распространения сигнала. Найдём связь групповой и фазовой скорости:

Групповая скорость - №25 - открытая онлайн библиотека