Линейные уравнения с параметрами

Уравнение вида Ах = В, где А, В – выражения, зависящие

от параметров, а х – неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.

Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество всех корней заданного уравнения.

Линейное уравнение Ах = В исследуется по следующей схеме.

1) Если А = 0 и В Линейные уравнения с параметрами - №1 - открытая онлайн библиотека , то уравнение не имеет решений

Линейные уравнения с параметрами - №2 - открытая онлайн библиотека Ø).

2) Если А = 0 и В = 0, то уравнение имеет вид 0 · х = 0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел (х Линейные уравнения с параметрами - №3 - открытая онлайн библиотека

3) Если А Линейные уравнения с параметрами - №4 - открытая онлайн библиотека то уравнение имеет единственное решение х = Линейные уравнения с параметрами - №5 - открытая онлайн библиотека

Пример 1. Для всех значений параметров k решить уравнение

(k + 4)х = 2k + 1.

Решение: Уравнение записано в стандартном виде Ах = В, поэтому его исследование проведём по указанной схеме.

1) Если k + 4 = 0, т.е. k = -4, то уравнение имеет вид

0 · х = -7, откуда х Линейные уравнения с параметрами - №2 - открытая онлайн библиотека Ø.

2) Если k + 4 Линейные уравнения с параметрами - №4 - открытая онлайн библиотека т.е. k Линейные уравнения с параметрами - №8 - открытая онлайн библиотека то обе части уравнения можно делить на k + 4. Тогда х = Линейные уравнения с параметрами - №9 - открытая онлайн библиотека

Ответ: если k = -4, то х Линейные уравнения с параметрами - №2 - открытая онлайн библиотека Ø;

если k Линейные уравнения с параметрами - №8 - открытая онлайн библиотека то х = Линейные уравнения с параметрами - №9 - открытая онлайн библиотека

Пример 2. Для всех значений параметров а и b решить уравнение (a – 2) х = 4а +3b.

Решение: 1) а = 2. Уравнение имеет вид 0 · х = 8 + 3b.

Если 8 + 3b Линейные уравнения с параметрами - №1 - открытая онлайн библиотека ,т.е. b Линейные уравнения с параметрами - №14 - открытая онлайн библиотека то это равенство ни при каком х не выполняется, поэтому х Линейные уравнения с параметрами - №2 - открытая онлайн библиотека Ø.

Если b= - Линейные уравнения с параметрами - №16 - открытая онлайн библиотека то уравнение примет вид 0 · х = 0, откуда следует: х Линейные уравнения с параметрами - №17 - открытая онлайн библиотека

2) а - 2 Линейные уравнения с параметрами - №1 - открытая онлайн библиотека , т.е. а Линейные уравнения с параметрами - №19 - открытая онлайн библиотека . Тогда х = Линейные уравнения с параметрами - №20 - открытая онлайн библиотека

Ответ: если а =2, b Линейные уравнения с параметрами - №14 - открытая онлайн библиотека то х Линейные уравнения с параметрами - №2 - открытая онлайн библиотека Ø;

если а = 2, b= - Линейные уравнения с параметрами - №16 - открытая онлайн библиотека то х Линейные уравнения с параметрами - №24 - открытая онлайн библиотека

если а Линейные уравнения с параметрами - №19 - открытая онлайн библиотека , b- любое, то х = Линейные уравнения с параметрами - №20 - открытая онлайн библиотека