Производная и дифференциал

Из связи предела и бмв для производной получаем =f’(x) +a , где a - бмв. Т.к. слагаемые в сумме , записанной справа неравноценны по величине (произведение a имеет порядок малости более высокий, чем , а первое слагаемое имеет порядок малости, такой же как и ), то одно из них выделим в виде определения.

Опр. Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Получаем dy= f’(x) . Иногда используют обозначение df(x)= f’(x) .

Т.к. =dx, то обозначение дифференциала принимает симметричный вид

dy= f’(x)dx или df(x)= f’(x)dx или dy=y’dx.

Используя новое понятие, можно сказать что производная есть отношение дифференциалов функции и аргумента. Этот факт дает новые формы записи для символа производной : y’=f’(x)=y’(x)= = = = .

Можно достаточно просто истолковать дифференциал – это приращение касательной к кривой в данной точке. (cм. Рис 4.1. DB – это приращение функции y=f(x); DC – приращение dy касательной плоскости . Простейшие свойства дифференциала вытекают из соответствующих свойств производной (аддитивности, однородности и линейности)

С помощью дифференциала можно получить известную формулу для вычисления производной параметрически заданной функции. Имеем . Тогда отношение y’= принимает вид y’= и затем получить y’= .

Используем дифференциал для приближенных вычислений ввиду того, что , которое мы не знаем во многих случаях, можно приближенно заменить на величину dy, которое всегда можно вычислить. Это положено в основу приближенной формулы f(x+ )=f(x)+ =f(x)+f’(x) . Пусть нам требуется вычислить значение функции у= f(x) , но точно сделать это затруднительно. Тогда можно предложить алгоритм применения дифференциала:

-выбери точку хо достаточно близко к точке х и вычисли значение f(xо);

-вычисли значение f’(xо) и значение =х- хо ;

-вычисли приближенно f(x) , заменив на f’(xо) .

Пример 4.1. Вычислите приближенно ln1,2. Решение. Выбираем подходящую по записи функцию f(x)=lnx. Нам предстоит вычислить ее значение при х=1,2. Сделать это мы не можем. Выберем хо=1. Найдем

dy= f’(xо) при =1,2-1=0,2. Получаем (lnx)'= =1 при хо=1. Теперь вычислим приближенное значение ln1,2=ln1+1*0,2=0,2. О погрешности результата в данный момент речи не идет – нужно хотя бы приближенное значение.

Дифференциал обладает свойством инвариантности (неизменность формы записи в зависимости от вида задания функции).

Пусть у= f(x) и х=ф(t). Тогда dy=f’tdt. Но dx=ф’tdt. C другой стороны мы знаем, что f’t=f’хф’t . Поэтому dy=f’tdt= f’хф’tdt=f’х dx – т.е. форма записи сохранилась.