Определение 1. Под углом между двумя ненулевыми векторами 
и 
будем понимать величину угла AOB, где 
. Если векторы и сонаправлены, тоугол между ними равен 0, если они противоположно направлены, то - p.
Определение 5. Под скалярным произведением ненулевых векторов 
и 
будем понимать число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если среди сомножителей хотя бы один совпадет с нулевым вектором, то скалярное произведение равно 0.
Скалярное произведение векторов будем обозначать через 
. Таким образом, если 
, то
Свойство 1. Для любых векторов 
и 
справедливо равенство:
(5.9)
(свойство коммутативности).
Свойство 2.Для любых векторов 
и 
справедливы следующие равенства:
(5.10)
(5.11)
(свойство дистрибутивности относительно сложения).
Свойство 3. Для любых векторов и , и числа l справедливы следующие соотношения:
, (5.12)
Свойство 4. Для любого нулевого вектора 
справедливо неравенство: >0.
Скалярное произведение в координатах