Скалярное произведение векторов

Определение 1. Под углом между двумя ненулевыми векторами Скалярное произведение векторов - №1 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение векторов - №2 - открытая онлайн библиотека будем понимать величину угла AOB, где Скалярное произведение векторов - №3 - открытая онлайн библиотека . Если векторы Скалярное произведение векторов - №1 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение векторов - №2 - открытая онлайн библиотека сонаправлены, тоугол между ними равен 0, если они противоположно направлены, то - p.

Определение 5. Под скалярным произведением ненулевых векторов Скалярное произведение векторов - №6 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение векторов - №7 - открытая онлайн библиотека будем понимать число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если среди сомножителей хотя бы один совпадет с нулевым вектором, то скалярное произведение равно 0.

Скалярное произведение векторов будем обозначать через Скалярное произведение векторов - №8 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, если Скалярное произведение векторов - №9 - открытая онлайн библиотека , то

Скалярное произведение векторов - №10 - открытая онлайн библиотека

Свойство 1. Для любых векторов Скалярное произведение векторов - №11 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение векторов - №12 - открытая онлайн библиотека справедливо равенство:

Скалярное произведение векторов - №13 - открытая онлайн библиотека (5.9)

(свойство коммутативности).

Свойство 2.Для любых векторов Скалярное произведение векторов - №14 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение векторов - №15 - открытая онлайн библиотека справедливы следующие равенства:

Скалярное произведение векторов - №16 - открытая онлайн библиотека (5.10)

Скалярное произведение векторов - №17 - открытая онлайн библиотека (5.11)

(свойство дистрибутивности относительно сложения).

Свойство 3. Для любых векторов Скалярное произведение векторов - №11 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение векторов - №12 - открытая онлайн библиотека , и числа l справедливы следующие соотношения:

Скалярное произведение векторов - №20 - открытая онлайн библиотека , (5.12)

Скалярное произведение векторов - №21 - открытая онлайн библиотека

Свойство 4. Для любого нулевого вектора Скалярное произведение векторов - №22 - открытая онлайн библиотека справедливо неравенство: Скалярное произведение векторов - №22 - открытая онлайн библиотека Скалярное произведение векторов - №22 - открытая онлайн библиотека >0.

Скалярное произведение в координатах