Приклад. Знайдемо та представимо його у вигляді лінійної комбінації цих чисел

Знайдемо та представимо його у вигляді лінійної комбінації цих чисел:

; . Тут .

За допомогою розглянутого розкладу (див. теор.1) можна знайти обернений елемент . Нехай – множина оборотних елементів кільця . Відомо, що є абелевою групою за множенням. Якщо і , то внаслідок теор.1

,

звідки , тобто або в інших позначеннях .

› Надалі квадратні дужки в позначенні класів лишків випускатимемо, не забуваючи, проте, що, виконуючи операції за , ми маємо справу не просто з числами, а з класами лишків.

ТЕОРЕМА 2. Елемент кільця лишків оборотний тоді і тільки тоді, коли він взаємно простий з модулем.

4Необхідність. Нехай існує обернений елемент . Від супротивного: припустимо, що . Тоді . – суперечність, оскільки ділиться на , а 1 – ні.

Достатність. Нехай . Тоді внаслідок теор.1 Þ .3

Наслідок теореми 2. є полем тоді і тільки тоді, коли – просте число.

Приклад.

Розглянемо кільце :

; ;

; .

У кожного ненульового елемента комутативного кільця з одиницею є обернений за множенням, отже, ‑ поле.

Контрольні питання до §2

1. З яких елементів складається кільце лишків Zп ? Як визначені операції в цьому кільці?

2. З яких елементів складається мультиплікативна група кільця Zп ?