Знайдемо та представимо його у вигляді лінійної комбінації цих чисел:
; . Тут .
За допомогою розглянутого розкладу (див. теор.1) можна знайти обернений елемент . Нехай – множина оборотних елементів кільця . Відомо, що є абелевою групою за множенням. Якщо і , то внаслідок теор.1
,
звідки , тобто або в інших позначеннях .
› Надалі квадратні дужки в позначенні класів лишків випускатимемо, не забуваючи, проте, що, виконуючи операції за , ми маємо справу не просто з числами, а з класами лишків.
ТЕОРЕМА 2. Елемент кільця лишків оборотний тоді і тільки тоді, коли він взаємно простий з модулем.
4Необхідність. Нехай існує обернений елемент . Від супротивного: припустимо, що . Тоді . – суперечність, оскільки ділиться на , а 1 – ні.
Достатність. Нехай . Тоді внаслідок теор.1 Þ .3
Наслідок теореми 2. є полем тоді і тільки тоді, коли – просте число.
Приклад.
Розглянемо кільце :
; ;
; .
У кожного ненульового елемента комутативного кільця з одиницею є обернений за множенням, отже, ‑ поле.
Контрольні питання до §2
1. З яких елементів складається кільце лишків Zп ? Як визначені операції в цьому кільці?
2. З яких елементів складається мультиплікативна група кільця Zп ?