Матричная форма представления математической модели

Информация о математической модели технического объек­та, которую содержит орграф, может быть представлена в виде матрицы.

Сформируем матрицу размерности Матричная форма представления математической модели - №1 - открытая онлайн библиотека , где а - число строк, Матричная форма представления математической модели - №2 - открытая онлайн библиотека - число столбцов. В этой матрице каждому узлу оргра­фа, за исключением базового, соответствует строка, а каждой вет­ви - столбец. Единицами в матрице отметим наличие соединений между узлами и ветвями орграфа, а нулями - их отсутствие. На­правления сигналов в ветвях орграфа отобразим знаками единиц. Если сигнал направлен от узла, примем знак минус, а если к уз­лу - знак плюс.

Матрицу, построенную по изложенным правилам для дан­ного орграфа, называют матрицей инциденций.

В табл. 4.1 приведена матрица инциденций для техническо­го объекта, динамическая модель которого и орграф представлены на рис. 4.3, а в табл. 4.2 - для объекта, модели которого пред­ставлены на рис. 4.5.

Обозначим матрицу инциденций Матричная форма представления математической модели - №3 - открытая онлайн библиотека , Матричная форма представления математической модели - №4 - открытая онлайн библиотека ; Матричная форма представления математической модели - №5 - открытая онлайн библиотека , где Матричная форма представления математической модели - №6 - открытая онлайн библиотека - число узлов графа, за исключением базового; Матричная форма представления математической модели - №2 - открытая онлайн библиотека - сум­марное число ветвей орграфа - инерционных, диссипативных, упругих и источников внешних воздействий.

Матричная форма представления математической модели - №8 - открытая онлайн библиотека

При составлении матрицы инциденций для объекта с источниками внешних воздействий типа потока Матричная форма представления математической модели - №9 - открытая онлайн библиотека в нее включают­ся не только узлы, отображающие сосредоточенные массы, но и узлы источников потоков, отмечаемые на орграфе и в матрице звездочкой и имеющие свою нумерацию. Кроме того, необходимо иметь в виду следующее. Каждый узел орграфа должен находить­ся в равновесии, что соответствует топологическому уравнению Матричная форма представления математической модели - №10 - открытая онлайн библиотека , где Матричная форма представления математической модели - №11 - открытая онлайн библиотека - потенциалы ветвей, инцидентных данному узлу. Выполнение этого условия для узла источника потока обеспечивается, если учесть реакцию внешней среды Матричная форма представления математической модели - №12 - открытая онлайн библиотека . Эта реакция представляет собой потенциал ветви орграфа, отображающей ис­точник потока. Поэтому источники потоков в матрице инциден­ций формально замещаются источниками реактивных потенциа­лов Матричная форма представления математической модели - №12 - открытая онлайн библиотека (см. табл. 4.2).

Матрицу инциденций Матричная форма представления математической модели - №14 - открытая онлайн библиотека можно представить состоящей из подматриц инерционных Матричная форма представления математической модели - №15 - открытая онлайн библиотека , диссипативных Матричная форма представления математической модели - №16 - открытая онлайн библиотека , упругих Матричная форма представления математической модели - №17 - открытая онлайн библиотека вет­вей и подматрицы ветвей источников потенциалов Матричная форма представления математической модели - №18 - открытая онлайн библиотека :

Матричная форма представления математической модели - №19 - открытая онлайн библиотека

Из табл. 4.1 и 4.2 следует, что подматрица Матричная форма представления математической модели - №15 - открытая онлайн библиотека во всех слу­чаях единичная диагональная. В этой связи при составлении мат­рицы инциденций Матричная форма представления математической модели - №14 - открытая онлайн библиотека с целью упрощения обычно подматрицу Матричная форма представления математической модели - №15 - открытая онлайн библиотека опускают.

Рассмотрим подматрицу ветвей упругих компонентов Матричная форма представления математической модели - №17 - открытая онлайн библиотека для примера технического объекта на рис. 4.3 (табл. 4.1) и установим связь между нею и компонентными уравнениями упругих эле­ментов.

Компонентное уравнение упругого элемента механической вращательной системы имеет вид (см. табл. 3.1)

Матричная форма представления математической модели - №24 - открытая онлайн библиотека (4.1)

Для первого упругого элемента, согласно динамической мо­дели на рис. 4.3, Матричная форма представления математической модели - №25 - открытая онлайн библиотека , Матричная форма представления математической модели - №26 - открытая онлайн библиотека , следовательно, компонентное уравнение этого элемента

Матричная форма представления математической модели - №27 - открытая онлайн библиотека (4.2)

Рассмотрим возможность получения этого же уравнения на основе матрицы инциденций. Примем во внимание, что состояние сосредоточенных масс, а следовательно, и отображающих их уз­лов графа, характеризуется фазовыми координатами типа потока Матричная форма представления математической модели - №28 - открытая онлайн библиотека . Учитывая это и используя столбец подматрицы Матричная форма представления математической модели - №17 - открытая онлайн библиотека , соответствующий данному упругому элементу, можно составить следующее выражение:

Матричная форма представления математической модели - №30 - открытая онлайн библиотека (4.3)

где Матричная форма представления математической модели - №31 - открытая онлайн библиотека - фазовая координата типа потока (угловая скорость) Матричная форма представления математической модели - №32 - открытая онлайн библиотека -й сосредоточенной массы ( Матричная форма представления математической модели - №32 - открытая онлайн библиотека -гo узла орграфа); Матричная форма представления математической модели - №34 - открытая онлайн библиотека - инцидентор - элемент матрицы инциденций Матричная форма представления математической модели - №14 - открытая онлайн библиотека , характеризующий наличие или отсутствие соединения Матричная форма представления математической модели - №36 - открытая онлайн библиотека -й ветви орграфа с Матричная форма представления математической модели - №32 - открытая онлайн библиотека -м узлом и направле­ние сигнала в данной ветви; Матричная форма представления математической модели - №38 - открытая онлайн библиотека - число узлов орграфа.

Используя выражение (4.3), на основе матрицы инциден­ций, приведенной в табл. 4.1, получаем компонентное уравнение для первого упругого элемента, полностью совпадающее с уравне­нием (4.2).

Для второго упругого элемента получаем

Матричная форма представления математической модели - №39 - открытая онлайн библиотека (4.4)

а для третьего

Матричная форма представления математической модели - №40 - открытая онлайн библиотека . (4.5)

Сравнивая выражения (4.2), (4.4) и (4.5) и анализируя соот­ветствующие им столбцы подматрицы инциденций Матричная форма представления математической модели - №17 - открытая онлайн библиотека ветвей уп­ругих элементов, легко обнаружить следующие закономерности. Если в столбце содержатся два ненулевых инцидентора, то упру­гий элемент соединяет между собой две сосредоточенные массы, т.е. осуществляет простое соединение. При наличии трех и более инциденторов (например, второй столбец подматрицы Матричная форма представления математической модели - №17 - открытая онлайн библиотека в табл. 4.1) соединение сосредоточенных масс дифференциальное. Если инцидентор только один, то упругий элемент соединяет со­средоточенную массу с инерциальной системой отсчета. Такое со­единение называют реактивным, а упругий элемент, осуществ­ляющий это соединение, - реактивным упругим элементом.

Для получения компонентных уравнений инерционных эле­ментов по матрице инциденций используют выражение, которое составляется аналогично выражению (4.3):

Матричная форма представления математической модели - №43 - открытая онлайн библиотека , (4.6)

где Матричная форма представления математической модели - №44 - открытая онлайн библиотека - диагональный элемент подматрицы инциденций Матричная форма представления математической модели - №15 - открытая онлайн библиотека ветвей инерционных компонентов: Матричная форма представления математической модели - №46 - открытая онлайн библиотека для всех инерцион­ных компонентов, поэтому Матричная форма представления математической модели - №47 - открытая онлайн библиотека .

Компонентное уравнение диссипативного элемента

Матричная форма представления математической модели - №48 - открытая онлайн библиотека , (4.7)

где Матричная форма представления математической модели - №49 - открытая онлайн библиотека - элемент подматрицы инциденций Матричная форма представления математической модели - №16 - открытая онлайн библиотека ветвей диссипативных компонентов.

Таким образом, на основе матрицы инциденций можно по лучить все компонентные уравнения элементов технической системы и построить ее математическую модель в инвариант­ной форме. Следовательно, матрица инциденций несет ту же ин­формацию о системе, что и орграф или динамическая модель. По­этому ее можно рассматривать как функциональную математическую модель технического объекта в матричной форме.