Пример 38

Тело движется прямолинейно с ускорением а=6t-4.При t=0 начальный путь S0=0,

начальная скорость v0=4. Найти скорость и пройденный путь как функции времени.

Решение:

1) Согласно условию имеем Пример 38 - №1 - открытая онлайн библиотека . Известно, что Пример 38 - №2 - открытая онлайн библиотека

Пример 38 - №3 - открытая онлайн библиотека

2) Используя начальные условия, найдём С1

Пример 38 - №4 - открытая онлайн библиотека

Закон изменения скорости: Пример 38 - №5 - открытая онлайн библиотека

3) Найдём закон движения тела

Пример 38 - №6 - открытая онлайн библиотека

4) Ответ: закон изменения скорости: Пример 38 - №5 - открытая онлайн библиотека ,

закон движения тела: Пример 38 - №8 - открытая онлайн библиотека

Литература:

[1] стр. 431-433, [2] стр. 329-330, [4] стр. 373-375, 381- 382, 397 – 398, [5] стр. 420-421


Глава 3. Ряды

Исследование на сходимость рядов с неотрицательными членами

Основные понятия

Пример 39.

Найти первые пять членов ряда Пример 38 - №9 - открытая онлайн библиотека .

Решение.

Общий член ряда имеет следующий вид Пример 38 - №10 - открытая онлайн библиотека .

Чтобы найти первые пять членов ряда, надо вместо n подставлять числа 1, 2, 3, 4, 5.

n=1 тогда Пример 38 - №11 - открытая онлайн библиотека ;

n=2 тогда Пример 38 - №12 - открытая онлайн библиотека ;

n=3 тогда Пример 38 - №13 - открытая онлайн библиотека ;

n=4 тогда Пример 38 - №14 - открытая онлайн библиотека ;

n=5 тогда Пример 38 - №15 - открытая онлайн библиотека .

Пример 38 - №16 - открытая онлайн библиотека

Ряд вида Пример 38 - №17 - открытая онлайн библиотека называется геометрическим рядом.

Геометрический ряд:

1) сходится при Пример 38 - №18 - открытая онлайн библиотека ;

2) расходится при Пример 38 - №19 - открытая онлайн библиотека .

Пример 40.

Определить сходится или расходится данный геометрический ряд Пример 38 - №20 - открытая онлайн библиотека .

Решение.

Рассмотрим общий член ряда Пример 38 - №21 - открытая онлайн библиотека . Здесь Пример 38 - №22 - открытая онлайн библиотека . Так как Пример 38 - №23 - открытая онлайн библиотека , то ряд Пример 38 - №20 - открытая онлайн библиотека расходится.

Пример 38 - №25 - открытая онлайн библиотека

Ряд вида Пример 38 - №26 - открытая онлайн библиотека называется обобщённым гармоническим рядом.

Гармонический ряд:

1) сходится при Пример 38 - №27 - открытая онлайн библиотека ;

2) расходится при Пример 38 - №28 - открытая онлайн библиотека .

Пример 41.

Определить сходится или расходится данный гармонический ряд Пример 38 - №29 - открытая онлайн библиотека .

Решение.

Рассмотрим общий член ряда Пример 38 - №30 - открытая онлайн библиотека . Здесь Пример 38 - №31 - открытая онлайн библиотека . Так как Пример 38 - №32 - открытая онлайн библиотека , то ряд Пример 38 - №29 - открытая онлайн библиотека сходится.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд Пример 38 - №34 - открытая онлайн библиотека сходится, то его общий член Пример 38 - №35 - открытая онлайн библиотека стремится к нулю, т.е. Пример 38 - №36 - открытая онлайн библиотека .

Следствие. Если Пример 38 - №37 - открытая онлайн библиотека или этот предел не существует, то ряд расходится.