Интегральное исчисление

31. Понятие первообразной функции. Теорема о совокупности первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства.

32. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

33. Метод интегрирования по частям. Основные типы интегралов, вычисляемых по частям.

34. Интегрирование рациональных дробей и рациональных тригонометрических функций.

35. Определенный интеграл как предел последовательности интегральных сумм. Свойства определенного интеграла, теорема о среднем.

36. Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.

37. Методы замены переменной и интегрирования по частям в случае определенного интеграла.

38. Вычисление площади плоской фигуры и длины дуги кривой с помощью определенного интеграла.

39. Несобственные интегралы первого и второго рода, признаки сходимости.

40. Понятие двойного интеграла, его геометрический смысл, условия существования. Свойства двойного интеграла.

41. Метод вычисления двойного интеграла сведением его к интегралу повторному. Полярные координаты. Замена переменных в двойном интеграле.

42. Вычисление площадей плоской фигуры и поверхности с помощью двойного интеграла.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Понятие функции

Рассмотрим множество Интегральное исчисление - №1 - открытая онлайн библиотека элементов Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека и множество Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека элементов Интегральное исчисление - №4 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Если каждому элементу Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека Интегральное исчисление - №6 - открытая онлайн библиотека Интегральное исчисление - №1 - открытая онлайн библиотека ставится в соответствие по некоторому закону единственный элемент Интегральное исчисление - №4 - открытая онлайн библиотека Интегральное исчисление - №6 - открытая онлайн библиотека Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека , то говорят, что на множестве Интегральное исчисление - №1 - открытая онлайн библиотека задана функция Интегральное исчисление - №12 - открытая онлайн библиотека со значениями в множестве Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека .

Элементы Интегральное исчисление - №4 - открытая онлайн библиотека - значения функции, элементы Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека - значения аргумента. Множество Интегральное исчисление - №1 - открытая онлайн библиотека – область определения функции, Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека - множество значений функции. Если Интегральное исчисление - №1 - открытая онлайн библиотека и Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека – множества действительных чисел, то функцию называют действительной функцией одного аргумента.

Интегральное исчисление - №20 - открытая онлайн библиотека - закон, по которому устанавливается соответствие элементов, чаще всего, задается аналитически, то есть с помощью формулы. Аналитически функция может быть задана:

- явно: когда формула разрешена относительно Интегральное исчисление - №4 - открытая онлайн библиотека . Например, Интегральное исчисление - №22 - открытая онлайн библиотека .

- неявно: когда формула не разрешена относительно Интегральное исчисление - №4 - открытая онлайн библиотека . Например, Интегральное исчисление - №24 - открытая онлайн библиотека .

- параметрически: когда Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека и Интегральное исчисление - №4 - открытая онлайн библиотека заданы в виде явных функций

параметра Интегральное исчисление - №27 - открытая онлайн библиотека : Интегральное исчисление - №28 - открытая онлайн библиотека . Например, Интегральное исчисление - №29 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Графиком функции Интегральное исчисление - №30 - открытая онлайн библиотека называется множество точек плоскости с координатами Интегральное исчисление - №31 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим функцию Интегральное исчисление - №12 - открытая онлайн библиотека с областью определения Интегральное исчисление - №1 - открытая онлайн библиотека и множеством значений Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека 1и функцию Интегральное исчисление - №35 - открытая онлайн библиотека с областью определения Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека 2иобластью значений Интегральное исчисление - №37 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Если область определения Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека 2функции Интегральное исчисление - №39 - открытая онлайн библиотека включает в себя множество значений Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека 1функции Интегральное исчисление - №41 - открытая онлайн библиотека , то говорят, что на множестве Интегральное исчисление - №1 - открытая онлайн библиотека определена сложная функция Интегральное исчисление - №43 - открытая онлайн библиотека c областью значений Интегральное исчисление - №37 - открытая онлайн библиотека .

Например, Интегральное исчисление - №45 - открытая онлайн библиотека , Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека 1= Интегральное исчисление - №47 - открытая онлайн библиотекаи Интегральное исчисление - №48 - открытая онлайн библиотека , Интегральное исчисление - №3 - открытая онлайн библиотека 2=( Интегральное исчисление - №50 - открытая онлайн библиотека ). Таким образом, Интегральное исчисление - №51 - открытая онлайн библиотека - сложная функция.

Определение. Пусть Интегральное исчисление - №30 - открытая онлайн библиотека - функция, имеющая областью определения множество D и областью значений множество Е, такова, что из условия Интегральное исчисление - №53 - открытая онлайн библиотека следует Интегральное исчисление - №54 - открытая онлайн библиотека , тогда каждому Интегральное исчисление - №55 - открытая онлайн библиотека соответствует единственное значение Интегральное исчисление - №56 - открытая онлайн библиотека , такое, что Интегральное исчисление - №57 - открытая онлайн библиотека . Тем самым определена новая функция Интегральное исчисление - №58 - открытая онлайн библиотека с областью определения Е и областью значений D. Интегральное исчисление - №30 - открытая онлайн библиотека и Интегральное исчисление - №60 - открытая онлайн библиотека называют взаимно обратными функциями.

Например, Интегральное исчисление - №61 - открытая онлайн библиотека и Интегральное исчисление - №62 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Функция Интегральное исчисление - №30 - открытая онлайн библиотека называется четной, если удовлетворяет условию Интегральное исчисление - №64 - открытая онлайн библиотека и нечетной, если Интегральное исчисление - №65 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Функция Интегральное исчисление - №30 - открытая онлайн библиотека называется периодической, если существует положительное число Интегральное исчисление - №67 - открытая онлайн библиотека (период функции) такое, что Интегральное исчисление - №68 - открытая онлайн библиотека для любого Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Функция Интегральное исчисление - №30 - открытая онлайн библиотека называется строго возрастающей (убывающей) при Интегральное исчисление - №71 - открытая онлайн библиотека , если для любых Интегральное исчисление - №72 - открытая онлайн библиотека выполняется Интегральное исчисление - №73 - открытая онлайн библиотека ( Интегральное исчисление - №74 - открытая онлайн библиотека ). Строго возрастающая и строго убывающая функции называются строго монотонными.

Определение. Окрестностью точки Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека называется любой открытый промежуток, содержащий эту точку. Интегральное исчисление - №76 - открытая онлайн библиотека (эпсилон)- окрестностью точки Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека называется промежуток Интегральное исчисление - №78 - открытая онлайн библиотека длины Интегральное исчисление - №79 - открытая онлайн библиотека с центром в точке Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека .

Предел функции

Пусть переменная Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека стремится к Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека ( Интегральное исчисление - №83 - открытая онлайн библиотека ), то есть принимает значения сколь угодно близкие к Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека , но не равные ему.

Определение. Число А называют пределом функции Интегральное исчисление - №30 - открытая онлайн библиотека в точке Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека (при Интегральное исчисление - №83 - открытая онлайн библиотека ), если для любого сколь угодно малого Интегральное исчисление - №88 - открытая онлайн библиотека существует такое положительное число Интегральное исчисление - №89 - открытая онлайн библиотека , что для всех Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека , удовлетворяющих неравенству Интегральное исчисление - №91 - открытая онлайн библиотека , выполняется неравенство Интегральное исчисление - №92 - открытая онлайн библиотека . При этом пишут

Интегральное исчисление - №93 - открытая онлайн библиотека .

Если Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека неограниченно возрастает, то говорят, что Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека стремится к плюс бесконечности: Интегральное исчисление - №96 - открытая онлайн библиотека ; если неограниченно убывает, то Интегральное исчисление - №97 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Число А называют пределом функции Интегральное исчисление - №30 - открытая онлайн библиотека при Интегральное исчисление - №96 - открытая онлайн библиотека ( Интегральное исчисление - №97 - открытая онлайн библиотека ), если для любого сколь угодно малого Интегральное исчисление - №88 - открытая онлайн библиотека существует такое положительное число M, что для всех Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека , удовлетворяющих неравенству Интегральное исчисление - №103 - открытая онлайн библиотека ( Интегральное исчисление - №104 - открытая онлайн библиотека ) выполняется неравенство Интегральное исчисление - №92 - открытая онлайн библиотека . При этом пишут

Интегральное исчисление - №106 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Число А называют правым односторонним пределом функции Интегральное исчисление - №30 - открытая онлайн библиотека при Интегральное исчисление - №108 - открытая онлайн библиотека , если для любого сколь угодно малого Интегральное исчисление - №88 - открытая онлайн библиотека существует такое положительное число Интегральное исчисление - №89 - открытая онлайн библиотека , что для всех Интегральное исчисление - №2 - открытая онлайн библиотека , удовлетворяющих неравенству Интегральное исчисление - №112 - открытая онлайн библиотека , выполняется неравенство Интегральное исчисление - №92 - открытая онлайн библиотека . Пишут

Интегральное исчисление - №114 - открытая онлайн библиотека .

Аналогично определяется левый односторонний предел функции в точке.

Свойства пределов

1.Если в окрестности точки Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека : Интегральное исчисление - №116 - открытая онлайн библиотека , то Интегральное исчисление - №117 - открытая онлайн библиотека .

2.Если существуют конечные пределы функций Интегральное исчисление - №118 - открытая онлайн библиотека и Интегральное исчисление - №119 - открытая онлайн библиотека в точке Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека , то существуют пределы суммы, разности, произведения и частного этих функций (если Интегральное исчисление - №121 - открытая онлайн библиотека ), причём

· Интегральное исчисление - №122 - открытая онлайн библиотека ,

· Интегральное исчисление - №123 - открытая онлайн библиотека

· Интегральное исчисление - №124 - открытая онлайн библиотека Интегральное исчисление - №125 - открытая онлайн библиотека ,

· Интегральное исчисление - №126 - открытая онлайн библиотека .

3.Пусть существует предел Интегральное исчисление - №127 - открытая онлайн библиотека и предел Интегральное исчисление - №128 - открытая онлайн библиотека . Пусть в некоторой окрестности точки Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека Интегральное исчисление - №130 - открытая онлайн библиотека , за исключением, быть может, самой точки Интегральное исчисление - №75 - открытая онлайн библиотека , тогда существует предел сложной функции

Интегральное исчисление - №132 - открытая онлайн библиотека