ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page

Предметом аналитической геометрии является изучение гео- метрических фигур и их свойств при помощи действий с чис -лами и наборами чисел, однозначно определяющих геометри -ческие фигуры.

§ 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. Рассмотрим равенство ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №1 - открытая онлайн библиотека , где ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №2 - открытая онлайн библиотека - переменные величины, принимающие различные действительные значения, ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №3 - открытая онлайн библиотека - некоторое выражение (композиция известных функций) со- держащее ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №2 - открытая онлайн библиотека . Если равенство ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №1 - открытая онлайн библиотека выполняется для всех значений ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №2 - открытая онлайн библиотека , то оно называется тождеством. Если же равенство ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №1 - открытая онлайн библиотека выплоняется не для всех пара чисел ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №2 - открытая онлайн библиотека , то оно называется уравнением линии на плоскости. Простейшим уравнением линии на плоскости яв- ляется уравнение прямой.

Из школьного курса известно уравнение прямой с угловым коэффициентом: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №9 - открытая онлайн библиотека , где ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №10 - открытая онлайн библиотека , ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №11 - открытая онлайн библиотека . (1)

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №12 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №13 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №14 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №15 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №16 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №17 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №18 - открытая онлайн библиотека

Если мы знаем угол наклона прямой ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №14 - открытая онлайн библиотека к оси ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №20 - открытая онлайн библиотека , т.е. если задан угловой коэффициент этой прямой ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №10 - открытая онлайн библиотека и задана фиксированная точка на прямой ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №22 - открытая онлайн библиотека , то, чтобы напи- сать уравнение прямой, удобно воспользоваться формулой:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №23 - открытая онлайн библиотека (2)

Уравнение (1) получится из уравнения (2), если раскрыть скобки и привести подобные.

Например: Написать уравнение прямой, проходящей через точку ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №24 - открытая онлайн библиотека под углом ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №25 - открытая онлайн библиотека к оси ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №20 - открытая онлайн библиотека .

Угловой коэффициент ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №27 - открытая онлайн библиотека тогда, по фор- муле (2), прямая имеет уравнение:: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №28 - открытая онлайн библиотека , или ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №29 - открытая онлайн библиотека

Рассмотрим произвольную прямую ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №14 - открытая онлайн библиотека на плоскости. Пусть ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №22 - открытая онлайн библиотека - фиксированная, а ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №32 - открытая онлайн библиотека текущая точки дан -ной прямой.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №33 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №14 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №35 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №36 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №37 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №38 - открытая онлайн библиотека

Если заданы векторы ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №39 - открытая онлайн библиотека , перпендикулярный прямой (нормаль или нормальный вектор), или ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №40 - открытая онлайн библиотека , парал -лельный данной прямой (направляющий вектор), то, исполь- зуя условия ортогональности и коллинеарности, можем напи -сать уравнения прямой ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №14 - открытая онлайн библиотека следующим образом:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №42 - открытая онлайн библиотека ; следовательно, ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №43 - открытая онлайн библиотека , или

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №44 - открытая онлайн библиотека (3)

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №45 - открытая онлайн библиотека ; следовательно координаты этих векторов пропор- циональны и получаем:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №46 - открытая онлайн библиотека . (4)

В частности, если на прямой заданы две точки ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №47 - открытая онлайн библиотека и ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №48 - открытая онлайн библиотека , то вектор ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №49 - открытая онлайн библиотека являет- ся направляющим вектором прямой ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №14 - открытая онлайн библиотека и её уравнение принимает вид:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №51 - открытая онлайн библиотека (5)

Уравнение прямой по двум заданным точкам.

Пример 1 Написать уравнение прямой, проходящей через точку ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №52 - открытая онлайн библиотека а) перпендикулярно вектору ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №53 - открытая онлайн библиотека ; б) парал – лельно вектору ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №53 - открытая онлайн библиотека , если ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №55 - открытая онлайн библиотека ; с) написать уравнение прямой, проходящей через точки ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №56 - открытая онлайн библиотека и ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №15 - открытая онлайн библиотека .

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №58 - открытая онлайн библиотека . Тогда в случае а) ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №59 - открытая онлайн библиотека и, по формуле (3), уравнение имеет вид: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №60 - открытая онлайн библиотека или ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №61 - открытая онлайн библиотека ; в случае б) получим уравнение: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №62 - открытая онлайн библиотека , по формуле (4), или ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №63 - открытая онлайн библиотека ; в случае с), по формуле (5), получаем уравнение: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №64 - открытая онлайн библиотека , или ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №65 - открытая онлайн библиотека , ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №66 - открытая онлайн библиотека . Таким образом получаем: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №67 - открытая онлайн библиотека

Если в равенстве (3) откроем скобки, то получим общее уравнение прямой на плоскости:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №68 - открытая онлайн библиотека (6)

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №39 - открытая онлайн библиотека является нормальным вектором данной прямой.

Если известны длины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат,

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №70 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №13 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №72 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №17 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №74 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №18 - открытая онлайн библиотека

то уравнение этой прямой можно записать следующим об -разом:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №76 - открытая онлайн библиотека (7)

§ 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА

ПЛОСКОСТИ

Пусть заданы уравнения двух прямых на плоскости:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №77 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №78 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №13 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №80 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №81 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №82 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №83 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №18 - открытая онлайн библиотека

Тогда

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №85 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно, угол между прямыми ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №86 - открытая онлайн библиотека (учитывая смысл угловых коэффициентов прямых) определяется по формуле:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №87 - открытая онлайн библиотека (1)

Если прямые параллельны, т.е. ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №88 - открытая онлайн библиотека , то ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №89 - открытая онлайн библиотека и ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №90 - открытая онлайн библиотека ; если прямые перпендикулярны, ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №91 - открытая онлайн библиотека , то ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №92 - открытая онлайн библиотека не существу- ет, то ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №93 - открытая онлайн библиотека , или ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №94 - открытая онлайн библиотека (это условие перпендику-

лярности прямых).

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №95 - открытая онлайн библиотека Пример 1. Даны две противоположные вершины квадрата:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №96 - открытая онлайн библиотека . Найти уравнения сторон квадрата.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №15 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №56 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №17 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №100 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №101 - открытая онлайн библиотека

Зная координаты точек ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №15 - открытая онлайн библиотека и ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №101 - открытая онлайн библиотека можем найти координаты точки ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №17 - открытая онлайн библиотека , как координаты середины отрезка, ( т.е. полусумма координат концов отрезка): ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №105 - открытая онлайн библиотека . Кроме того можем напи- сать уравнение прямой ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №106 - открытая онлайн библиотека , как уравнение прямой проходя- щей через две заданные точки (формула (5) § 1):

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №107 - открытая онлайн библиотека

Тогда ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №108 - открытая онлайн библиотека Угол между прямыми ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №109 - открытая онлайн библиотека и ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №106 - открытая онлайн библиотека равен ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №111 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, по формуле (1),

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №112 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда, ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №113 - открытая онлайн библиотека Зная координаты точки ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №114 - открытая онлайн библиотека и угловой коэффициент ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №115 - открытая онлайн библиотека (по формуле (2) § 1

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №116 - открытая онлайн библиотека ), можем написать уравнение прямой:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №117 - открытая онлайн библиотека

Прямые ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №109 - открытая онлайн библиотека и ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №119 - открытая онлайн библиотека параллельны; тогда ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №120 - открытая онлайн библиотека . Прямая ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №119 - открытая онлайн библиотека (при использовании координат точки ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №122 - открытая онлайн библиотека имеет уравнение:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №123 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №124 - открытая онлайн библиотека ; учитывая условие перпендикулярности прямых,

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №125 - открытая онлайн библиотека . Используя то же уравнение, получим:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №126 - открытая онлайн библиотека

И наконец ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №127 - открытая онлайн библиотека и тогда:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №128 - открытая онлайн библиотека

Пример 2. Пусть даны координаты одной вершины треу -гольника ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №129 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №130 - открытая онлайн библиотека и уравнения высоты ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №131 - открытая онлайн библиотека и медианы ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №132 - открытая онлайн библиотека , проведённых из разных вершин. Найти уравнения сторон треугольника.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №133 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №56 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №36 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №15 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №137 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №101 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №139 - открытая онлайн библиотека , ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №140 - открытая онлайн библиотека . Тогда ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №141 - открытая онлайн библиотека и сторона ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №106 - открытая онлайн библиотека имеет уравнение:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №143 - открытая онлайн библиотека

Пусть ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №144 - открытая онлайн библиотека . Точка ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №36 - открытая онлайн библиотека - середина отрезка ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №109 - открытая онлайн библиотека . Тогда ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №147 - открытая онлайн библиотека . Точка ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №148 - открытая онлайн библиотека и её координаты удовлетворяют уравнению: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №149 - открытая онлайн библиотека , т.е. ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №150 - открытая онлайн библиотека Точка ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №151 - открытая онлайн библиотека и её координаты удовлетворяют уравнению данной прямой: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №152 - открытая онлайн библиотека Получаем систему:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №153 - открытая онлайн библиотека

Решение этой системы: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №154 - открытая онлайн библиотека , т.е. ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №155 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №156 - открытая онлайн библиотека

Решая систему, получаем ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №157 - открытая онлайн библиотека Уравнения прямых ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №109 - открытая онлайн библиотека и ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №159 - открытая онлайн библиотека можем написать, использовав уравнение прямой, проходя- щей через две заданные точки:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №160 - открытая онлайн библиотека

В случае, если прямые на плоскости заданы общими уравнениями, т.е.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №161 - открытая онлайн библиотека

то угол между ними равен углу между их нормальными векто- рами ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №162 - открытая онлайн библиотека , т.е.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №163 - открытая онлайн библиотека

Если ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №164 - открытая онлайн библиотека Это условие парал- лельности прямых.

Если ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №165 - открытая онлайн библиотека Это ус -ловие перпендикулярности прямых.

§ 3. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Можно усмотреть аналогию между понятиями прямой на плоскости и плоскостью в пространстве. Основой этой анало- гии является известный факт, что через заданную точку плос- кости можно провести единственную прямую, перпендикулярно заданному вектору, а через заданную точку пространства мож- но провести единственную плоскость, перпендикулярную задан- ному вектору. Следует заметить также, что размерность пря – мой равна 1, размерность плоскости - 2, размерность прост -ранства - 3, т.е. прямая в плоскости и плоскость в пространс- тве имеют одинаковую коразмерность. Линейное пространство размерности на единицу меньшей, чем размерность пространс- тва, частью которого оно является, называется гиперплоскос -тью. В соответствии с этим определением, прямая - это ги -перплоскость на плоскости, а плоскость - это гиперплоскость в пространстве.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №166 - открытая онлайн библиотека Пусть плоскость ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №167 - открытая онлайн библиотека проходит через точку фиксированную точку пространства ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №168 - открытая онлайн библиотека перпендикулярно вектору ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №169 - открытая онлайн библиотека Пусть ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №170 - открытая онлайн библиотека - произвольная (текущая) точка данной плоскости.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №35 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №36 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №37 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №167 - открытая онлайн библиотека

Тогда уравнение плоскости ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №167 - открытая онлайн библиотека получаем, используя условие ортогональности (перпендикулярности) вектора ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №35 - открытая онлайн библиотека и вектора ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №177 - открытая онлайн библиотека , т.е. ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №178 - открытая онлайн библиотека Таким образом,

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №179 - открытая онлайн библиотека (1)

Если в данном равенстве раскроем скобки, то получим общееуравнение плоскости:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №180 - открытая онлайн библиотека (2)

где ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №181 - открытая онлайн библиотека

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №182 - открытая онлайн библиотека перпендикулярно вектору ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №183 - открытая онлайн библиотека , где ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №184 - открытая онлайн библиотека .

В данном случае ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №185 - открытая онлайн библиотека Фиксированная точка ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №37 - открытая онлайн библиотека - это точка ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №15 - открытая онлайн библиотека и уравнение плоскости принимает вид:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №188 - открытая онлайн библиотека

или ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №189 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, чтобы написать уравнение плоскости необ – ходимо знать какую– нибудь точку на плоскости и вектор, пер- пендикулярный плоскости.

Часто встречается следующая задача: написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть заданы три фиксированные точки плоскости: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №190 - открытая онлайн библиотека , а ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №170 - открытая онлайн библиотека - текущая точка плоскости. Тогда векторы ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №192 - открытая онлайн библиотека и ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №193 - открытая онлайн библиотека компланарны.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №194 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №36 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №196 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №197 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №198 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №199 - открытая онлайн библиотека , или

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №200 - открытая онлайн библиотека (3)

Расстояние от точки ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №168 - открытая онлайн библиотека до плоскости ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №202 - открытая онлайн библиотека можно найти по формуле (аналогичной формуле расстояния от точки до прямой на плоскости):

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №203 - открытая онлайн библиотека (4)

Пример 2. Дана треугольная пирамида с вершинами

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №204 - открытая онлайн библиотека .

Написать уравнение плоскости ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №205 - открытая онлайн библиотека и найти высоту, опущен- ную на эту плоскость из точки ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №206 - открытая онлайн библиотека

По формуле (3) уравнение плоскости ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №205 - открытая онлайн библиотека имеет вид:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №208 - открытая онлайн библиотека

тогда ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №209 - открытая онлайн библиотека

Получаем: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №210 - открытая онлайн библиотека т.е. плоскость ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №205 - открытая онлайн библиотека имеет уравнение: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №212 - открытая онлайн библиотека Высоту пира -миды, опущенную из точки ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №100 - открытая онлайн библиотека можно найти как расстояние от этой точки до плоскости ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №205 - открытая онлайн библиотека , по формуле (4).

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №215 - открытая онлайн библиотека

Используя условие компланарности векторов, можно анало -гичным образом написать уравнение плоскости, проходящей че- рез фиксированную точку ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №168 - открытая онлайн библиотека пространства парал -лельно двум заданным векторам:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №217 - открытая онлайн библиотека , ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №218 - открытая онлайн библиотека .

В этом случае: векторы ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №219 - открытая онлайн библиотека компланарны и их смешанное произведение равно нулю: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №220 - открытая онлайн библиотека т.е.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №221 - открытая онлайн библиотека (5)

Пример 3. Написать уравнение плоскости ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №167 - открытая онлайн библиотека , проходящей через точку ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №223 - открытая онлайн библиотека перпендикулярно плоскостям:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №224 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №225 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №226 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №227 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №167 - открытая онлайн библиотека

. ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №37 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №230 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №231 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №232 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №233 - открытая онлайн библиотека , тогда, по формуле (5), уравнение плос -кости ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №167 - открытая онлайн библиотека имеет вид: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №235 - открытая онлайн библиотека Получаем: ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №236 - открытая онлайн библиотека , или, окончательно, получаем уравнение плоскости ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №237 - открытая онлайн библиотека ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №238 - открытая онлайн библиотека

Пусть даны две плоскости

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №239 - открытая онлайн библиотека

Угол между плоскостями равен углу между их нормаль –

ными векторами :

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №240 - открытая онлайн библиотека (6)

Условие параллельности плоскостей:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №241 - открытая онлайн библиотека (7)

Условие перпендикулярности плоскостей:

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №242 - открытая онлайн библиотека . (8)

Если ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №243 - открытая онлайн библиотека , то уравнения задают одну и ту же плоскомть.

Пример 4. Найти угол между плоскостями ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №244 - открытая онлайн библиотека и ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №245 - открытая онлайн библиотека

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №246 - открытая онлайн библиотека . Тогда, по формуле (6),

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 page - №247 - открытая онлайн библиотека