Матричные модели в биологии

Пример 1. Контакты первого и второго порядка в эпидемиологии.

Предположим, имеется группа из Матричные модели в биологии - №1 - открытая онлайн библиотека больных некоторой заразной болезнью, будем считать ее первой группой. Ко второй группе отнесем Матричные модели в биологии - №2 - открытая онлайн библиотека людей, опрашиваемых на предмет выявления контактов с людьми из первой группы. Кроме того, можно составить третью группу из Матричные модели в биологии - №3 - открытая онлайн библиотека человек, опрашиваемых для выяснения контактов с людьми из второй группы.

В частности, принимая Матричные модели в биологии - №4 - открытая онлайн библиотека , определим матрицу контактов между второй и первой группами Матричные модели в биологии - №5 - открытая онлайн библиотека , полагая Матричные модели в биологии - №6 - открытая онлайн библиотека если Матричные модели в биологии - №7 - открытая онлайн библиотека й человек из второй группы находился в контакте с Матричные модели в биологии - №8 - открытая онлайн библиотека м больным из первой группы и Матричные модели в биологии - №9 - открытая онлайн библиотека – в противном случае. Аналогично определим матрицу контактов между третьей и второй группами Матричные модели в биологии - №10 - открытая онлайн библиотека , полагая Матричные модели в биологии - №11 - открытая онлайн библиотека если Матричные модели в биологии - №7 - открытая онлайн библиотека й человек из третьей группы находился в контакте с Матричные модели в биологии - №8 - открытая онлайн библиотека м больным из второй группы и Матричные модели в биологии - №14 - открытая онлайн библиотека - в противном случае.

Матрицы Матричные модели в биологии - №15 - открытая онлайн библиотека и Матричные модели в биологии - №16 - открытая онлайн библиотека описывают схемы прямых контактов между группами. Предположим

Матричные модели в биологии - №17 - открытая онлайн библиотека (1)

Нас могут интересовать непрямые контакты или контакты второго порядка между людьми из третей группы (7 человек) и больными из первой группы (3 человека). Матрица Матричные модели в биологии - №18 - открытая онлайн библиотека будет описывать эти непрямые контакты, в данном случае:

Матричные модели в биологии - №19 - открытая онлайн библиотека (2)

Например элемент Матричные модели в биологии - №20 - открытая онлайн библиотека (матрицы Матричные модели в биологии - №21 - открытая онлайн библиотека ) показывает, что имеется 2 непрямых контакта между третьим человеком из третьей группы и вторым человеком из первой группы. По виду матрицы Матричные модели в биологии - №21 - открытая онлайн библиотека можно сделать некоторые предварительные выводы о вероятности заражения лиц третьей группы в результате непрямых контактов с больными. Суммируя элементы шестого столбца, определяем что у 6 человека из третьей группы оказалось Матричные модели в биологии - №23 - открытая онлайн библиотека непрямых контакта с группой больных, что может свидетельствовать о высокой вероятности его заражения. В то время как у 5 человека непрямые контакты отсутствуют и его, видимо, можно исключить из группы "возможных контактов".

Пример 2. Матричная модель популяции.

В любой популяции, будь то популяция рыб, лосей, крупного рогатого скота и т.д, можно условно выделить несколько возрастных групп. В простейшем случае можно рассматривать 3 группы: препродуктивную (еще не способны к воспроизведению потомства), обозначим Матричные модели в биологии - №24 - открытая онлайн библиотека , репродуктивную Матричные модели в биологии - №25 - открытая онлайн библиотека - производящую потомство и постпродуктивную Матричные модели в биологии - №26 - открытая онлайн библиотека - не производящую потомство по старости.

В зависимости от конкретной задачи может быть рассмотрена более детальная возрастная градация, например, градация возраста по годам, но мы ограничимся упомянутыми простейшими случаями. Будем отслеживать численность возрастных групп популяции в моменты времени Матричные модели в биологии - №27 - открытая онлайн библиотека Обозначим Матричные модели в биологии - №28 - открытая онлайн библиотека - численности, соответственно, препродуктивной, репродуктивной и постпродуктивной групп в момент Матричные модели в биологии - №29 - открытая онлайн библиотека . Интервал времени Матричные модели в биологии - №30 - открытая онлайн библиотека можно выбрать таким образом, чтобы за этот период особи предыдущей возрастной группы перешли в последующую. В начальный момент состояние популяции опишется вектор-столбцом:

Матричные модели в биологии - №31 - открытая онлайн библиотека (3)

В последующий момент Матричные модели в биологии - №32 - открытая онлайн библиотека можно принять Матричные модели в биологии - №33 - открытая онлайн библиотека то есть численность новорожденных пропорциональна численности репродуктивных особей в предыдущий момент ( Матричные модели в биологии - №34 - открытая онлайн библиотека - коэффициент "рождаемости"). Далее примем Матричные модели в биологии - №35 - открытая онлайн библиотека ( Матричные модели в биологии - №36 - открытая онлайн библиотека - коэффициенты "выживаемости", соответственно первой и второй возрастных групп). Будем считать коэффициенты Матричные модели в биологии - №37 - открытая онлайн библиотека константами, одинаковыми для всех моментов времени. По смыслу задачи эти коэффициенты положительны, причем Матричные модели в биологии - №38 - открытая онлайн библиотека Состояние популяции в момент Матричные модели в биологии - №32 - открытая онлайн библиотека выражается:

Матричные модели в биологии - №40 - открытая онлайн библиотека (4)

Аналогично:

Матричные модели в биологии - №41 - открытая онлайн библиотека (5)

Продолжая выражать состояние популяции в последующий момент через предыдущий, имеем

Матричные модели в биологии - №42 - открытая онлайн библиотека (6)

Матричные модели в биологии - №43 - открытая онлайн библиотека (7)

Общую формулу для Матричные модели в биологии - №44 - открытая онлайн библиотека можно представить в виде:

а) Если Матричные модели в биологии - №1 - открытая онлайн библиотека - четно, то Матричные модели в биологии - №46 - открытая онлайн библиотека (8)

б) Если Матричные модели в биологии - №1 - открытая онлайн библиотека - нечетно, то Матричные модели в биологии - №48 - открытая онлайн библиотека (9)

В соответствии с формулами, можно сделать некоторые выводы:

1) Численность популяции растет при Матричные модели в биологии - №49 - открытая онлайн библиотека . Действительно, в этом случае Матричные модели в биологии - №50 - открытая онлайн библиотека , а значит все компоненты вектора Матричные модели в биологии - №51 - открытая онлайн библиотека возрастают как при четном, так и при нечетном Матричные модели в биологии - №1 - открытая онлайн библиотека . Исходя из того, что коэффициенты Матричные модели в биологии - №53 - открытая онлайн библиотека , неравенство Матричные модели в биологии - №49 - открытая онлайн библиотека будет выполнятся при достаточно большом коэффициенте "выживаемости" Матричные модели в биологии - №34 - открытая онлайн библиотека .

Если Матричные модели в биологии - №56 - открытая онлайн библиотека ,то Матричные модели в биологии - №57 - открытая онлайн библиотека и все компоненты вектора Матричные модели в биологии - №51 - открытая онлайн библиотека стремятся к нулю. Популяция погибает.

В случае Матричные модели в биологии - №59 - открытая онлайн библиотека , Матричные модели в биологии - №60 - открытая онлайн библиотека очевидно, численность популяции со временем не возрастает и не уменьшается. В четные моменты времени она равна Матричные модели в биологии - №61 - открытая онлайн библиотека , а в нечетные Матричные модели в биологии - №62 - открытая онлайн библиотека , своего рода колебательный процесс. В частности такая картина будет наблюдаться, если Матричные модели в биологии - №63 - открытая онлайн библиотека (половина "препродуктивной" группы не доживает до зрелого возраста), а Матричные модели в биологии - №64 - открытая онлайн библиотека (выжившие взрослые особи увеличивают численность в двое).

2)Существенность различия численности популяции в четные и нечетные моменты времени. Продемонстрируем это она примере популяции, у которой в начальный момент имеюются особи только препродуктивной группы (для популяции рыб - выпускание мальков в необитаемый водоем).

Матричные модели в биологии - №65 - открытая онлайн библиотека (10)

Согласно формулам

Матричные модели в биологии - №66 - открытая онлайн библиотека (11)

то есть в четные моменты времени отсутствуют особи репродуктивной группы, а в нечетные - препродуктивной и постпродуктивной групп.

3)Отношение численностей различных возрастных групп со временем сохраняет определенное постоянство. Так из (8) следует:

Матричные модели в биологии - №67 - открытая онлайн библиотека

откуда:

Матричные модели в биологии - №68 - открытая онлайн библиотека

Аналогично:

Матричные модели в биологии - №69 - открытая онлайн библиотека

откуда:

Матричные модели в биологии - №70 - открытая онлайн библиотека

Аналогично показывается постоянство соотношений численностей первой и третьей или второй и третьей возрастных групп.