Определители

Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n Определители - №1 - открытая онлайн библиотека .

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную числовую характеристику, называемую определителем, соответствующую этой матрице.

Определение.Определителем квадратной матрицы второго порядка Определители - №2 - открытая онлайн библиотека называется число, равное значению выражения Определители - №3 - открытая онлайн библиотека и обозначается Определители - №4 - открытая онлайн библиотека .

Прежде чем ввести понятие определителя n-го порядка, введем определения понятий минора и алгебраического дополнения элемента aij, для любых i, j.

Определение.Минором Mij любого элемента aij матрицы n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, соответствующий той матрице, которая получается из исходной матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, т.е. i-й строки и j-го столбца.

Пример 2.7. Найти минор M23 матрицы Определители - №5 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Составим матрицу Определители - №6 - открытая онлайн библиотека , соответствующую элементу Определители - №7 - открытая онлайн библиотека , то есть из исходной матрицы Определители - №8 - открытая онлайн библиотека вычеркнем элементы второй строки и третьего столбца, остальные элементы образуют матрицу Определители - №9 - открытая онлайн библиотека . Найдем определитель матрицы Определители - №6 - открытая онлайн библиотека , следовательно, вычислим минор Определители - №11 - открытая онлайн библиотека .

Определение.Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя n - го порядка называется минор Mij элемента aij , умноженный на число (-1)i+j.

Определители - №12 - открытая онлайн библиотека .

Пример 2.8 Найти алгебраическое дополнение элемента а23 матрицы

Определители - №5 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Из примера 2.7 известно, что Определители - №14 - открытая онлайн библиотека , тогда алгебраическое дополнение элемента Определители - №7 - открытая онлайн библиотека будет равно Определители - №16 - открытая онлайн библиотека .

Определение.Определитель квадратной матрицы n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения Определители - №17 - открытая онлайн библиотека

Вычисление определителя по данной формуле называется разложением определителя по элементам Определители - №18 - открытая онлайн библиотека -го столбца (первая сумма) или j-й строки (вторая сумма).

Пример 2.9. Вычислить определитель Определители - №19 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Поскольку третья строка и второй столбец содержат один элемент, равный нулю, то целесообразно вычисление определителя выполнить, разложив его по третьей строке или по второму столбцу. Тогда получим

Определители - №20 - открытая онлайн библиотека

Слагаемое с нулевым множителем написано для иллюстрации того, что при вычислении определителя эти слагаемые нужно опускать.

Вычислим этот же определитель, разложив его по третьему столбцу.

Определители - №21 - открытая онлайн библиотека