Временные характеристики САУ

В качестве входных воздействий, на которые ищется реакция системы, приняты воздействия, описываемые элементарными математическими функциями, то есть такими, на которые можно разложить любые произвольные функции. В теории управления в качестве элементарных функций используются:

1) единичная ступенчатая функция 1(t);

2) единичная импульсная функция δ(t);

3) весовая функция (t)

Единичная ступенчатая функция определяется выражением:

Временные характеристики САУ - №1 - открытая онлайн библиотека

Единичная импульсная функция, которая также называется δ – функцией или функцией Дирака, определяется как производная от единичной ступенчатой функции. Поскольку в момент времени t = 0 функция 1(t) претерпевает разрыв, то ее производная не существует (обращается в бесконечность). Таким образом, единичная импульсная функция равна:

Временные характеристики САУ - №2 - открытая онлайн библиотека (t) = Временные характеристики САУ - №3 - открытая онлайн библиотека

Для физической интерпретации δ - функции целесообразно ее рассматривать как предел, к которому стремится прямоугольный импульс единичной площади длительностью ∆t и амплитудой 1/∆t. Графически этот процесс представлен на рисунке 4.

Временные характеристики САУ - №4 - открытая онлайн библиотека

Рис. 4 – Физическая интерпретация Временные характеристики САУ - №5 - открытая онлайн библиотека – функции при Временные характеристики САУ - №6 - открытая онлайн библиотека и 1/∆t Временные характеристики САУ - №7 - открытая онлайн библиотека

Интеграл δ - функции:

Временные характеристики САУ - №8 - открытая онлайн библиотека

Зная весовую функцию g(t), можно найти реакцию динамического звена на любое входное воздействие. Если, например, представить непрерывный входной сигнал произвольной формы совокупностью δ-функций:

x(t) = Временные характеристики САУ - №9 - открытая онлайн библиотека

Tо сигнал на выходе линейного звена определяется как:

y(t)= Временные характеристики САУ - №10 - открытая онлайн библиотека

Временные характеристики САУ - №11 - открытая онлайн библиотека

Рис. 5 – а) Типовые входные взаимодействия в виде единичной ступенчатой функции 1(t) единичной импульсной Временные характеристики САУ - №12 - открытая онлайн библиотека (в), функций и соответствующие им отклики системы виде переходной характеристики h(t) (б) и весовой функции g(t) (г).

Весовая функция (t) – реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

где τ - вспомогательное время интегрирования. По весовой функции можно также определить передаточную функцию динамического звена:

W(p) = Временные характеристики САУ - №13 - открытая онлайн библиотека

Аналогично, зная переходную характеристику, можно определить реакцию системы на произвольное входное воздействие, учитывая, что переходная характеристика и импульсная переходная функция однозначно связаны между собой соотношениями:

Временные характеристики САУ - №14 - открытая онлайн библиотека

Временные характеристики САУ - №15 - открытая онлайн библиотека [5,6]

Гармонические колебания.

Гармонические колебания - колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному, косинусоидальному) закону.

Уравнение гармонического колебания имеет вид

Временные характеристики САУ - №16 - открытая онлайн библиотека

Или

Временные характеристики САУ - №17 - открытая онлайн библиотека

где х - отклонение колеблющейся величины в текущий момент времени t от среднего за период значения (например, в кинематике - смещение, отклонение колеблющейся точки от положения равновесия); А - амплитуда колебания, т.е. максимальное за период отклонение колеблющейся величины от среднего за период значения, размерность A совпадает с размерностью x; ω (радиан/с, градус/с) - циклическая частота, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с; (ωt + φ) (радиан, градус) - полная фаза колебания (сокращённо - фаза, не путать с начальной фазой); φ (радиан, градус) - начальная фаза колебаний, которая определяет значение полной фазы колебания (и самой величины x) в момент времени t = 0. [7]

Заключение

Изучена система САУ, ее виды, устройство и основные характеристики. Такие как частотные характеристики. Рассмотрены и изучены такие частотные характеристики как: амплитудно – фазовая характеристика (АФХ), амплитудно – частотная характеристика (АЧХ), фазочастотную характеристику(ФЧХ), вещественно частотную характеристику (ВЧХ), мнимую частотную характеристику (МЧХ). Рассмотрены временные характеристики САУ. Изучены: единичная ступенчатая функция, единичная импульсная функция. Изучены гармонические колебания, рассмотрены их основные законы и характеристики. Сделаны выводы по все аспектам работы.