Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число

Делится на при любых целых .

Пример 5. Найдите наибольший общий делитель чисел 5040 и 2700 .

Решение: 1-й способ (по алгоритму Евклида).

Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №1 - открытая онлайн библиотека

Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №2 - открытая онлайн библиотека

Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №3 - открытая онлайн библиотека

Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №4 - открытая онлайн библиотека

Поэтому НОД (5040, 2700) = 180 .

2-й способ (по разложению на простые сомножители).

Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №5 - открытая онлайн библиотека

Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №6 - открытая онлайн библиотека

Поэтому НОД (5040, 2700) = Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №7 - открытая онлайн библиотека = 180 .

Ответ: 180

Пример 6. Найти наибольший общий делитель чисел a = 22005 + 1 и

b = 22006 – 1 .

Решение: Пользуясь алгоритмом Евклида, выпишем в ряд числа, имеющие общий делитель. 22006 – 1, 22005 + 1, ( 22006 – 1)-(22005 + 1)= Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №8 - открытая онлайн библиотека , Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №9 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, НОД (a,b) = 3.

Ответ: НОД (a,b ) = 3.

Пример 7. (Задание С6 ЕГЭ 2010). Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида р2 - 1, где р - простое число, большее 3, но меньшее 2010.

Решение: Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №10 - открытая онлайн библиотека При Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №11 - открытая онлайн библиотека Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №12 - открытая онлайн библиотека .Покажем, что при всех простых Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №13 - открытая онлайн библиотека число Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №14 - открытая онлайн библиотека делится на 24.Среди трех подряд идущих чисел Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №15 - открытая онлайн библиотека одно обязательно делится на 3 и это не Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №13 - открытая онлайн библиотека , значит Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №17 - открытая онлайн библиотека . Среди двух подряд идущих четных чисел Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №18 - открытая онлайн библиотека одно обязательно делится на 4, а другое на 2, значит их произведение делится на 8. Следовательно, число Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №14 - открытая онлайн библиотека делится на 24. Это и есть наибольший общий делитель, т.к. это наименьшее из наших чисел и все они делятся на 24.

Ответ:24.

Пример 8. Найти наибольший общий делитель чисел Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №20 - открытая онлайн библиотека .

Решение: Пользуясь алгоритмом Евклида, выпишем в ряд числа, имеющие общий делитель. Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №21 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, НОД Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №22 - открытая онлайн библиотека = 11.

Ответ: 11.

Пример 9. Доказать, что дробь Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №23 - открытая онлайн библиотека несократима.

Доказательство. Дробь несократима, если числитель и знаменатель – взаимно простые числа, их наибольший делитель равен 1. Найдем его. Пользуясь алгоритмом Евклида, выпишем в ряд числа, имеющие общий делитель. Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №24 - открытая онлайн библиотека Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №25 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, НОД Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №26 - открытая онлайн библиотека = 1 и дробь несократима.

Пример 10. Найти все целые Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №27 - открытая онлайн библиотека , при которых Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №28 - открытая онлайн библиотека - целое число.

Решение: Выделим целую часть дроби Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №29 - открытая онлайн библиотека и выясним, при каких Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №30 - открытая онлайн библиотека дробь Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №31 - открытая онлайн библиотека будет по модулю меньше 1 и не равна 0, т.е. не может быть целым числом. Решив систему неравенств Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №32 - открытая онлайн библиотека , получим Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №33 - открытая онлайн библиотека или Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №34 - открытая онлайн библиотека , Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №35 - открытая онлайн библиотека

Т.о., дробь может быть целым числом лишь при Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №36 - открытая онлайн библиотека . Подставляя эти числа в дробь, выделяем решения: Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №37 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №37 - открытая онлайн библиотека

Целая и дробная части числа.

Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данное число . Обозначается Т.е., если , то .

Дробной частью числа Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №39 - открытая онлайн библиотека называется число Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №40 - открытая онлайн библиотека . Очевидно,

Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №41 - открытая онлайн библиотека .

Например, Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №42 - открытая онлайн библиотека Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №43 - открытая онлайн библиотека Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №44 - открытая онлайн библиотека

Пример 11.Решите в натуральных числах уравнение Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №45 - открытая онлайн библиотека , где Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №46 - открытая онлайн библиотека – целая часть числа r .

Решение: Искомые числа не могут быть чётными, так как при Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №47 - открытая онлайн библиотека должно выполняться равенство Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №48 - открытая онлайн библиотека , что невозможно, так как Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №49 - открытая онлайн библиотека . Пусть теперь n –нечётно, Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №50 - открытая онлайн библиотека . Тогда Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №51 - открытая онлайн библиотека . Итак, Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №52 - открытая онлайн библиотека . Отсюда получаем, что k = 1 , 2 или 3 . Так что n = 1 , 3 или 5 . Непосредственной проверкой убеждаемся, что они все подходят.

Ответ: n = 1 , 3 или 5 .

Пример 12.Докажите, что если Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №53 - открытая онлайн библиотека делится на Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №54 - открытая онлайн библиотека , то Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №55 - открытая онлайн библиотека делится на Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №56 - открытая онлайн библиотека . (Здесь Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №46 - открытая онлайн библиотека – целая часть числа r ) .

Решение: Пусть Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №58 - открытая онлайн библиотека , тогда Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №59 - открытая онлайн библиотека Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №60 - открытая онлайн библиотека . Так как Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №61 - открытая онлайн библиотека , то а) Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №62 - открытая онлайн библиотека или б) Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №63 - открытая онлайн библиотека . Непосредственной проверкой убеждаемся, что в случае а) Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №64 - открытая онлайн библиотека Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №65 - открытая онлайн библиотека в случае б) Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №66 - открытая онлайн библиотека Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №67 - открытая онлайн библиотека т.о. произведение Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №68 - открытая онлайн библиотека делится на

Если числа делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на , т.е. число - №69 - открытая онлайн библиотека