Арифметический квадратный корень

Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень

С

тепенью с натуральным показателем n числа а называется произведение n сомножителей равных этому числу.

Арифметический квадратный корень - №1 - открытая онлайн библиотека - всего n сомножителей.

Например, Арифметический квадратный корень - №2 - открытая онлайн библиотека .

Число а называют основанием, а число n называют показателем степени.

Степень с показателем 2 называют квадратом, а с показателем 3 – кубом.

Примеры:

Арифметический квадратный корень - №3 - открытая онлайн библиотека

Корнем n-ой степени (n-натуральное число) из числа a ( обозначение Арифметический квадратный корень - №4 - открытая онлайн библиотека ) называют такое число x, степень которого равна a ( Арифметический квадратный корень - №5 - открытая онлайн библиотека ). Эту операцию называют извлечением корня n-ой степени из a. Корень из положительного числа – всегда число положительное.

Корень второй степени не пишут, то есть Арифметический квадратный корень - №6 - открытая онлайн библиотека .

Например, Арифметический квадратный корень - №7 - открытая онлайн библиотека , а не -2, хотя Арифметический квадратный корень - №8 - открытая онлайн библиотека .

Если число n – четное, то операция извлечения корня из отрицательного числа в поле действительных чисел не определена. Например, действительного числа Арифметический квадратный корень - №9 - открытая онлайн библиотека не существует.

Степенью с рациональным показателем m/n числа x (степенью с дробным показателем) называют число Арифметический квадратный корень - №10 - открытая онлайн библиотека , m и n – целые числа.

Например, Арифметический квадратный корень - №11 - открытая онлайн библиотека

Любое число, кроме 0, в нулевой степени равно 1 Арифметический квадратный корень - №12 - открытая онлайн библиотека . Операция Арифметический квадратный корень - №13 - открытая онлайн библиотека не определена.

Еще одно важное соотношение

Арифметический квадратный корень - №14 - открытая онлайн библиотека .

Например: Арифметический квадратный корень - №15 - открытая онлайн библиотека
Арифметический квадратный корень - №16 - открытая онлайн библиотека

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

Определем понятие степени, показатель которой - натуральное число (т.е. целое и положительное).

  1. По определению: Арифметический квадратный корень - №17 - открытая онлайн библиотека .
  2. Возвести число в квадрат - значит умножить его само на себя: Арифметический квадратный корень - №18 - открытая онлайн библиотека
  3. Возвести число в куб - значит умножить его само на себя три раза: Арифметический квадратный корень - №19 - открытая онлайн библиотека .

Возвести число в натуральную степень Арифметический квадратный корень - №20 - открытая онлайн библиотека - значит умножить число само на себя Арифметический квадратный корень - №20 - открытая онлайн библиотека раз:

Арифметический квадратный корень - №22 - открытая онлайн библиотека

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

Арифметический квадратный корень - №23 - открытая онлайн библиотека , n > 0

Возведение в нулевую степень:

Арифметический квадратный корень - №24 - открытая онлайн библиотека , a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

Арифметический квадратный корень - №25 - открытая онлайн библиотека ,a ≠ 0

Прим: выражение Арифметический квадратный корень - №26 - открытая онлайн библиотека не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то Арифметический квадратный корень - №27 - открытая онлайн библиотека

Пример 1.

Арифметический квадратный корень - №28 - открытая онлайн библиотека

Степень с рациональным показателем

Если:

  • a > 0;
  • n - натуральное число;
  • m - целое число;

Тогда:

Арифметический квадратный корень - №29 - открытая онлайн библиотека

Пример 2.

Арифметический квадратный корень - №30 - открытая онлайн библиотека

Свойства степеней

Произведение степеней Арифметический квадратный корень - №31 - открытая онлайн библиотека
Деление степеней Арифметический квадратный корень - №32 - открытая онлайн библиотека
Возведение степени в степень Арифметический квадратный корень - №33 - открытая онлайн библиотека

Пример 3.

Арифметический квадратный корень - №34 - открытая онлайн библиотека

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение Арифметический квадратный корень - №35 - открытая онлайн библиотека имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение Арифметический квадратный корень - №36 - открытая онлайн библиотека . Нарисуем график функции Арифметический квадратный корень - №37 - открытая онлайн библиотека и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Арифметический квадратный корень - №38 - открытая онлайн библиотека

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень Арифметический квадратный корень - №39 - открытая онлайн библиотека - это неотрицательное число, квадрат которого равен Арифметический квадратный корень - №40 - открытая онлайн библиотека , a ≥ 0. При a < 0 - выражение Арифметический квадратный корень - №39 - открытая онлайн библиотека не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу Арифметический квадратный корень - №40 - открытая онлайн библиотека .

Корень из квадрата

Арифметический квадратный корень - №43 - открытая онлайн библиотека

Например, Арифметический квадратный корень - №44 - открытая онлайн библиотека . А решения уравнения Арифметический квадратный корень - №36 - открытая онлайн библиотека соответственно Арифметический квадратный корень - №46 - открытая онлайн библиотека и Арифметический квадратный корень - №47 - открытая онлайн библиотека

Кубический корень

Кубический корень из числа Арифметический квадратный корень - №40 - открытая онлайн библиотека - это число, куб которого равен Арифметический квадратный корень - №40 - открытая онлайн библиотека . Кубический корень определен для всех Арифметический квадратный корень - №40 - открытая онлайн библиотека . Его можно извлечь из любого числа: Арифметический квадратный корень - №51 - открытая онлайн библиотека .

Корень n-ой степени

Корень Арифметический квадратный корень - №20 - открытая онлайн библиотека -й степени из числа Арифметический квадратный корень - №40 - открытая онлайн библиотека - это число, Арифметический квадратный корень - №20 - открытая онлайн библиотека -я степень которого равна Арифметический квадратный корень - №40 - открытая онлайн библиотека .

Если Арифметический квадратный корень - №20 - открытая онлайн библиотека - чётно.

  • Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
  • Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения Арифметический квадратный корень - №57 - открытая онлайн библиотека называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается Арифметический квадратный корень - №58 - открытая онлайн библиотека

Если Арифметический квадратный корень - №20 - открытая онлайн библиотека - нечётно.

  • Тогда уравнение Арифметический квадратный корень - №57 - открытая онлайн библиотека имеет единственный корень при любом Арифметический квадратный корень - №40 - открытая онлайн библиотека .

Пример 4.

Арифметический квадратный корень - №62 - открытая онлайн библиотека

Таблица корней