Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Пусть функция Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №2 - открытая онлайн библиотека . Если она задана аналитически и ее первообразная F(x) на этом отрезке выражается в элементарных функциях, то вычисление определенного интеграла Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №3 - открытая онлайн библиотека сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №4 - открытая онлайн библиотека .

Но не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции (имеются ввиду так называемые «неберущиеся интегралы», например: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №5 - открытая онлайн библиотека и т.д.). Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а также интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения не рационально. В этих случаях применяются приближенные методы интегрирования.

Основная идея этих методов состоит в том, что подынтегральную функцию f(х) заменяют другой, «близкой» к ней функцией, первообразная которой находится элементарным способом.

Геометрически это означает, что криволинейную трапецию с основанием Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №2 - открытая онлайн библиотека , ограниченную сверху кривой Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №1 - открытая онлайн библиотека , заменяют другой фигурой с тем же основанием, площадь которой близка к искомой площади криволинейной трапеции, но вычисляется гораздо проще. Сама кривая заменяется вписанной в нее ломаной или кривой.

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №8 - открытая онлайн библиотека Пусть на отрезке Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №2 - открытая онлайн библиотека , где a < b

задана непрерывная функция f(x).

Требуется вычислить Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №10 - открытая онлайн библиотека .

Для наглядности будем считать,

что Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №11 - открытая онлайн библиотека на отрезке Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №2 - открытая онлайн библиотека .

Разобьем отрезок Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №2 - открытая онлайн библиотека на n рав-

ных частей точками Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №14 - открытая онлайн библиотека :

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №15 - открытая онлайн библиотека . Рисунок 28

Длина h каждого из полученных отрезков Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №16 - открытая онлайн библиотека равна Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №17 - открытая онлайн библиотека , т.е. Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №18 - открытая онлайн библиотека (шаг разбиения) (рисунок 28). Обозначим через Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №19 - открытая онлайн библиотека значения функции f(х) в точках Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №14 - открытая онлайн библиотека , т.е. Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №21 - открытая онлайн библиотека ; Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №22 - открытая онлайн библиотека ; Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №23 - открытая онлайн библиотека ; Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №24 - открытая онлайн библиотека .

В зависимости от того, как аппроксимируют (заменяют) данную функцию Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №1 - открытая онлайн библиотека на каждом из отрезков Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №26 - открытая онлайн библиотека , получают различные формулы для вычисления интеграла Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №10 - открытая онлайн библиотека . Мы рассмотрим наиболее простые и широко применяемые формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).

Формулы прямоугольников

При вычислении интеграла Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №10 - открытая онлайн библиотека по формулам прямоугольников подынтегральная функция заменяется «ступенчатой функцией», которая на каждом из отрезков Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №26 - открытая онлайн библиотека имеет постоянное значение, равное значению функции на одном из концов этого отрезка.

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №30 - открытая онлайн библиотека Пусть, например, на каждом из

отрезков Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №26 - открытая онлайн библиотека ступенчатая функция

принимает значения, равные значению

функции f(х) на левом конце этого отрез-

ка, т.е. равные Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №32 - открытая онлайн библиотека .

Тогда площадь криволинейной трапе-

ции заменяется площадью ступенчатой

фигуры (рисунок 29) и считается прибли- Рисунок 29

женно равной сумме площадей прямоугольников с высотами Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №19 - открытая онлайн библиотека и основаниями Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №34 - открытая онлайн библиотека . Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №35 - открытая онлайн библиотека , т.е.

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №36 - открытая онлайн библиотека . (47)

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №37 - открытая онлайн библиотека

Если же значения ступенчатой функции

на каждом из отрезков Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №26 - открытая онлайн библиотека совпадают

со значениями функции у=f(х) на правых

концах этих отрезков (рисунок 30), то полу-

чаем формулу:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №39 - открытая онлайн библиотека

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №40 - открытая онлайн библиотека . Рисунок 30

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №41 - открытая онлайн библиотека . (48)

Формулы (47) и (48) называются формулами прямоугольников.

Чем меньше шаг разбиения (т.е. чем больше n), тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции, т.е. формулы (47) и (48) тем точнее, чем больше n. Иногда, в целях уточнения результата, за величину Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №10 - открытая онлайн библиотека принимают среднее арифметическое значений, полученных по формулам (47) и (48).

Погрешность этих формул может быть оценена следующим образом:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №43 - открытая онлайн библиотека , где Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №44 - открытая онлайн библиотека . (49)

Замечание. Если функция Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №1 - открытая онлайн библиотека на отрезке Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №2 - открытая онлайн библиотека возрастает, то формула (47) дает приближенное значение интеграла с недостатком, а формула (48) – с избытком. Для убывающей функции f(х) все наоборот.

Формула трапеций

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №47 - открытая онлайн библиотека

Подынтегральную функцию

f(x) заменим функцией, представ-

ляющей собой ломаную линию,

звенья которой соединяют концы

ординат Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №19 - открытая онлайн библиотека и Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №49 - открытая онлайн библиотека , Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №50 - открытая онлайн библиотека (ри-

сунок 31). В этом случае площадь

криволинейной трапеции (а, сле-

довательно, и значение искомого Рисунок 31

интеграла) считается приближенно равной сумме площадей обычных трапеций с основаниями Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №19 - открытая онлайн библиотека и Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №49 - открытая онлайн библиотека и высотой h.

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №53 - открытая онлайн библиотека .

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №54 - открытая онлайн библиотека . (50)

Формула (50) называется формулой трапеций.

Погрешность этой формулы может быть оценена следующим образом:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №55 - открытая онлайн библиотека , где Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №56 - открытая онлайн библиотека . (51)

Формула Симпсона

Этот метод приближенного вычисления определенного интеграла основан на замене графика подынтегральной функции не хордами, как в методе трапеций, а дугами парабол, оси которых параллельны оси Оу.

Рассмотрим сначала частный случай, когда кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, является параболой, определяемой уравнением Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №57 - открытая онлайн библиотека на отрезке Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №58 - открытая онлайн библиотека .

Найдем площадь такой криволинейной трапеции (рисунок 32).

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №59 - открытая онлайн библиотека

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №60 - открытая онлайн библиотека Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №61 - открытая онлайн библиотека .

Определим значения: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №62 - открытая онлайн библиотека ,

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №63 - открытая онлайн библиотека , Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №64 - открытая онлайн библиотека .

Умножим второе уравнение на 4 и сложим

все уравнения: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №65 - открытая онлайн библиотека .

Сравнивая выражение для площади

криволинейной трапеции и полученное ра- Рисунок 32

венство, имеем, что:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №66 - открытая онлайн библиотека , (52)

Формула (52) называется малой формулой Симпсона.

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №67 - открытая онлайн библиотека Сдвинем параболу вдоль оси Ох (рисунок 33) так, что Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №68 - открытая онлайн библиотека . В этом случае малая формула Симпсона остается справедливой, так как при параллельном пере-

носе кривой величины Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №69 - открытая онлайн библиотека и Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №70 - открытая онлайн библиотека

не изменяются.

Можно доказать, что коэффициенты

а, b, с, входящие в уравнение параболы

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №57 - открытая онлайн библиотека определяются однозначно,

в силу того, что через любые три точки плос-

кости Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №72 - открытая онлайн библиотека , Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №73 - открытая онлайн библиотека , Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №74 - открытая онлайн библиотека

можно провести параболу и притом только одну. Рисунок 33

Вернемся теперь к криволинейной трапеции, площадь которой задана интегралом Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №10 - открытая онлайн библиотека . Разобьем отрезок Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №2 - открытая онлайн библиотека на четное число равных частей.

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №77 - открытая онлайн библиотека - четное, Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №34 - открытая онлайн библиотека .

Объединив полученные части попарно, заменим каждую криволинейную трапецию с основанием 2h такой, которая сверху ограничена не кривой Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №1 - открытая онлайн библиотека , а параболой, проведенной через соответствующие три точки этой кривой: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №80 - открытая онлайн библиотека (рисунок 34).

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №81 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 34

Площадь каждой такой трапеции с основанием 2h вычислим по малой формуле Симпсона (52), а площадь всей криволинейной трапеции приближенно равна их сумме: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №82 - открытая онлайн библиотека

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №83 - открытая онлайн библиотека

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №84 - открытая онлайн библиотека

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №85 - открытая онлайн библиотека Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №86 - открытая онлайн библиотека . (53)

Формула (53) называется формулой Симпсона, а ее погрешность можно оценить так:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №87 - открытая онлайн библиотека , где Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №88 - открытая онлайн библиотека . (54)

Пример 18. Вычислить интеграл Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №89 - открытая онлайн библиотека с точностью до 0,001 сначала по формуле Ньютона-Лейбница, а затем найти приближенное значение по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все промежуточные вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака. Сравнить полученные результаты с точным значением интеграла, найдя абсолютную и относительную погрешности для каждой из формул; сделать выводы.

Решение. 1) Вычислим данный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №90 - открытая онлайн библиотека .

2) Для вычисления интеграла по приближенным формулам составим таблицу 1 значений подынтегральной функции для n = 10, Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №91 - открытая онлайн библиотека ; Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №92 - открытая онлайн библиотека , выделяя в ней столбцы значений функции с четными и нечетными индексами.

Таблица 1 – Значения подынтегральной функции Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №93 - открытая онлайн библиотека .

i хi у1, у11 уi,(i- четн.) уi, (i – нечетн.)
1,0000    
0,1   0,9901  
0,2     0,9615
0,3   0,9174  
0,4     0,8621
0,5   0,8000  
0,6     0,7363
0,7   0,6711  
0,8     0,6098
0,9   0,5525  
1,0 0,5000    
  1,5000 Sчет = 3,9311 Sнеч = 3,1687

Вычислим приближенное значение интеграла по формулам прямоугольников. Для удобства вычислений формулу прямоугольников (47) перепишем в виде: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №94 - открытая онлайн библиотека

Так как подынтегральная функция убывает на [0; 1], то, используя эту формулу, мы получим приближенное значение интеграла с избытком:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №95 - открытая онлайн библиотека

Абсолютная погрешность ∆ вычислений определяется как разность между точным и приближенным значениями интеграла, взятая по абсолютной величине: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №96 - открытая онлайн библиотека (55)

Тогда Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №97 - открытая онлайн библиотека .

Относительная погрешность δ определяется как отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла в процентах:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №98 - открытая онлайн библиотека (56)

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №99 - открытая онлайн библиотека .

Формулу прямоугольников (48) запишем в виде:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №100 - открытая онлайн библиотека

Тогда, Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №101 - открытая онлайн библиотека - приближенное значение интеграла с недостатком.

Абсолютная погрешность: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №97 - открытая онлайн библиотека

Относительная погрешность: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №103 - открытая онлайн библиотека .

Для получения более точного значения данного интеграла можно взять среднее арифметическое значений, полученных по формулам прямоугольников: Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №104 - открытая онлайн библиотека .

Вычислим приближенное значение интеграла, используя формулу трапеций. Формулу трапеций (48) перепишем в виде:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №105 - открытая онлайн библиотека .

Тогда для данного интеграла

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №106 - открытая онлайн библиотека

Абсолютная и относительная погрешности равны нулю. Вычислим приближенное значение интеграла по формуле Симпсона.

Формулу Симпсона (53) запишем в виде:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №107 - открытая онлайн библиотека

Тогда для данного интеграла

Приближенные методы вычисления определенных интегралов - №108 - открытая онлайн библиотека .

Абсолютная и относительная погрешности равны нулю. Сравнивая полученные результаты, замечаем, что формулы трапеций и Симпсона дают наибольшее приближение к точному значению интеграла.