Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей

Плоскость, прямая, точка - основные понятия геометрии. Нам трудно дать им четкие определения, однако интуитивно мы понимаем, что это такое. Плоскость имеет только два измерения. У нее нет глубины. Прямая имеет лишь одно измерение, а у точки вообще нет размеров - ни длины, ни ширины, ни высоты.

Плоскость бесконечна. Поэтому в задачах мы рисуем только часть плоскости. Надо же как-то ее изобразить.

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №1 - открытая онлайн библиотека

А как все это выглядит в пространстве? Очень просто. Лист плотной бумаги послужит «моделью» плоскости. Можете взять другой плоский предмет, например, CD-диск, пластиковую карту. Карандаши вполне могут изобразить прямые. Все аксиомы и теоремы стереометрии можно показать «на пальцах», то есть с помощью подручных материалов. Читаете - и сразу стройте такую «модель».

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Примеры в окружающем пространстве найти легко.

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №2 - открытая онлайн библиотека

Мы не рассматриваем отдельно случай «плоскости совпадают». Раз совпадают - значит, это одна плоскость, а не две.

Угол между плоскостями

Пусть плоскости Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №3 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №4 - открытая онлайн библиотека заданы соответственно уравнениями Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №5 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №6 - открытая онлайн библиотека . Требуется найти угол Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №7 - открытая онлайн библиотека между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №8 - открытая онлайн библиотека на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №9 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №10 - открытая онлайн библиотека к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №11 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №12 - открытая онлайн библиотека плоскостей Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №3 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №4 - открытая онлайн библиотека с началами в точке Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №8 - открытая онлайн библиотека (рис. 11.6).

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №16 - открытая онлайн библиотека

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №8 - открытая онлайн библиотека провести плоскость Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №18 - открытая онлайн библиотека , перпендикулярную линии пересечения плоскостей Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №3 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №4 - открытая онлайн библиотека , то прямые Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №9 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №10 - открытая онлайн библиотека и изображения векторов Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №11 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №12 - открытая онлайн библиотека будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №18 - открытая онлайн библиотека (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №26 - открытая онлайн библиотека

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №27 - открытая онлайн библиотека

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7) Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №28 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №29 - открытая онлайн библиотека , следовательно, угол Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №30 - открытая онлайн библиотека между нормальными векторами равен углу Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №7 - открытая онлайн библиотека , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №3 - открытая онлайн библиотека и Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №4 - открытая онлайн библиотека .

Во втором варианте (рис. 11.8) Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №34 - открытая онлайн библиотека , а угол Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №30 - открытая онлайн библиотека между нормальными векторами равен Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №36 - открытая онлайн библиотека . Так как

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №37 - открытая онлайн библиотека

то в обоих случаях Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №38 - открытая онлайн библиотека .

По определению скалярного произведения Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №39 - открытая онлайн библиотека . Откуда

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №40 - открытая онлайн библиотека

и соответственно

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №41 - открытая онлайн библиотека (11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №42 - открытая онлайн библиотека (11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №43 - открытая онлайн библиотека (11.6)

где Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №44 - открытая онлайн библиотека -- любое число.

23.Различные виды уравнений прямой в пространстве Векторно-параметрическое уравнение прямой Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №45 - открытая онлайн библиотека где Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №46 - открытая онлайн библиотека - фиксированная точка, лежащая на прямой; Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №47 - открытая онлайн библиотека - направляющий вектор. В координатах (параметрические уравнения): Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №48 - открытая онлайн библиотека Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №49 - открытая онлайн библиотека Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №50 - открытая онлайн библиотека Уравнения прямой по двум точкам Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №51 - открытая онлайн библиотека 24. Различные виды уравнений прямой в пространстве Канонические уравнения прямой Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №52 - открытая онлайн библиотека Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t . 25. Взаимное положение прямых Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны. 1. Пересекающиеся прямые Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку. Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4). Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №53 - открытая онлайн библиотека . Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые 2. Параллельные прямые На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке). Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны. 3. Скрещивающиеся прямые Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки. На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4). Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №54 - открытая онлайн библиотека . Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №55 - открытая онлайн библиотека . Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые Расстояние от точки до прямой - равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П1), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.
Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировка и пример)
 
 
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, концы которого лежат на этих прямых, и он перпендикулярен каждой из этих прямых. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, каждая из которых проходит через одну прямую параллельно другой. На рис. 36 имеем две скрещивающиеся прямые a и b. Через каждую из них проведена плоскость (плоскость Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №56 - открытая онлайн библиотека проходит через а, плоскость проходит через b), параллельная другой прямой. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельных прямых, равны.

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей - №57 - открытая онлайн библиотека

На этом утверждении основана возможность определить расстояние d между двумя скрещивающимися прямыми как расстояние между плоскостями, проведенными через каждые из данных прямых параллельно другой прямой.