Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики

Показательным (экспоненциальным)называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №1 - открытая онлайн библиотека

где  - положительное число

Найдем закон распределения

F(x) = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №2 - открытая онлайн библиотека = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №3 - открытая онлайн библиотека + λ Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №4 - открытая онлайн библиотека = 1- e-λx

F(x) = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №5 - открытая онлайн библиотека

Интервал времени между двумя последовательными появлениями некоторого редкого события описывается случайной величиной, распределенной по показательному закону. Например, по показательному закону распределено время безотказной работы какого-либо устройства.

Найдем математическое ожидание и дисперсию.

MX = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №6 - открытая онлайн библиотека = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №7 - открытая онлайн библиотека dx = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №8 - открытая онлайн библиотека = λ(- Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №9 - открытая онлайн библиотека | + Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №10 - открытая онлайн библиотека dx =

0

Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №11 - открытая онлайн библиотека - Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №12 - открытая онлайн библиотека | = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №13 - открытая онлайн библиотека

Результат получен с использованием того факта, что

xe-λx | = 0

Для нахождения дисперсии найдем величину MX2

MX2 = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №14 - открытая онлайн библиотека = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №15 - открытая онлайн библиотека

Дважды интегрируя по частям получаем

MX2 = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №16 - открытая онлайн библиотека

Тогда DX = MX2 – (MX)2 = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №17 - открытая онлайн библиотека

σX = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №13 - открытая онлайн библиотека

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.

Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

P(a<X<b) = F(a) – F(b) = e-λa – e-λb

Показательное распределение широко используется в теории надежности.

45. Плотность распределения и функция распределения нормальной случайной величины (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.

Нормальнымназывается распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

f(x) = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №19 - открытая онлайн библиотека

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры MX и σX , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F(x).

F(x) = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №20 - открытая онлайн библиотека

График плотности нормального распределения называется нормальной кривойили кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность

(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

Найдем математическое ожидание и дисперсию.

MX = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №21 - открытая онлайн библиотека Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №22 - открытая онлайн библиотека = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №23 - открытая онлайн библиотека Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №24 - открытая онлайн библиотека *( Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №25 - открытая онлайн библиотека )dx =

Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №26 - открытая онлайн библиотека Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №27 - открытая онлайн библиотека

z = (x-a)/σ

Поскольку Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №28 - открытая онлайн библиотека как интеграл по всей прямой от нечетной функции.

Таким образом, параметр а – математическое ожидание.

Найдем дисперсию нормальной случайной величины, снова применяя замену z = (x-a)/σ и интегрируя по частям:

DX = M(X-MX)2 = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №29 - открытая онлайн библиотека = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №30 - открытая онлайн библиотека =

Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №31 - открытая онлайн библиотека = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №32 - открытая онлайн библиотека + Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №33 - открытая онлайн библиотека

-∞

σ2 - это дисперсия, а σ – среднее квадратичное отклонение.

Случайная величина называется центрированной, если ее математическое ожидание равно 0. Для того, чтобы центрировать случайную величину, надо вычесть из нее математическое ожидание:

M(X – MX) = MX – MX = 0

Случайная величина называется нормированной, если ее дисперсия равна единице. Для того чтобы нормировать случайную величину, надо ее поделить на среднее квадратичное отклонение:

D( Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №34 - открытая онлайн библиотека = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №35 - открытая онлайн библиотека DX = Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики - №36 - открытая онлайн библиотека = 1

Центрированная и нормированная случайная величина называется стандартной.