Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №1 - открытая онлайн библиотека . Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №2 - открытая онлайн библиотека . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную._1_, _2_ Тогда _3_

Таким образом: _4_ Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.Интеграл вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №1 - открытая онлайн библиотека еслифункция R является нечетной относительно cosx.Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx. Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №4 - открытая онлайн библиотека ункция Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №5 - открытая онлайн библиотека может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx. Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №6 - открытая онлайн библиотека 1 способ. Тригонометрическая подстановка. Теорема: Интеграл вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №7 - открытая онлайн библиотека подстановкой Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №8 - открытая онлайн библиотека или Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №9 - открытая онлайн библиотека сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.Теорема: Интеграл вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №10 - открытая онлайн библиотека подстановкой Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №11 - открытая онлайн библиотека или Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №12 - открытая онлайн библиотека сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и costТеорема: Интеграл вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №13 - открытая онлайн библиотека подстановкой Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №14 - открытая онлайн библиотека или Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №15 - открытая онлайн библиотека сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Опреде­ленный интеграл как предел интегральной суммы. Теорема существования определенного интеграла (без док-ва). Геометрический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). Рис 1. Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b] Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn-1 = Dxn; На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции. [x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn. Составим суммы: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №16 - открытая онлайн библиотека ( далее_4_)n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn = Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №17 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №18 - открытая онлайн библиотека (_2_n )= M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn = Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №19 - открытая онлайн библиотека Сумма _4_ называется нижней интегральной суммой, а сумма _2_ – верхней интегральной суммой. Т.к. mi £ Mi, то _4_n £ _2_n, а m(b – a) £ _4_n £ _2_n £ M(b – a)Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e. x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, … , xn-1 < e < xn.Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn = Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №20 - открытая онлайн библиотека Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi Следовательно, Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №21 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №22 - открытая онлайн библиотека Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной. Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. Если Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №23 - открытая онлайн библиотека (8), то Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №24 - открытая онлайн библиотека (_9_)Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма _8_ стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. Обозначение : Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №25 - открытая онлайн библиотека (_10_) а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования. Определение: Если для функции f(x) существует предел _9_=_10_ то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

2. Свойства определенного интеграла, вытекающие из определения.

Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела. То есть

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №26 - открытая онлайн библиотека

Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №27 - открытая онлайн библиотека

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №28 - открытая онлайн библиотека

Свойство 4. Если на отрезке [a,b], где a < b , функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №29 - открытая онлайн библиотека

Свойство 5. Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и a ≤ b, то

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №30 - открытая онлайн библиотека

Свойство 6. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №31 - открытая онлайн библиотека

Свойство 7. Для любых трёх чисел a, b, c справедливо равенство

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №32 - открытая онлайн библиотека

если только все три интеграла существуют.

Свойство 8 (Теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдётся такая точка c, что справедливо равенство:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №33 - открытая онлайн библиотека

3. Теорема об оценке определенного интеграла. Теорема о среднем. Геометрический смысл.

Теоремы об оценке интеграла.

5.1. Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству m≤f(x)≤M, то

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №34 - открытая онлайн библиотека

Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств):

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №35 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №36 - открытая онлайн библиотека Аналогично доказывается и правое неравенство.

5.2. Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №37 - открытая онлайн библиотека

Док-во.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №38 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №39 - открытая онлайн библиотека 6. Теорема о среднем.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что

Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №40 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №41 - открытая онлайн библиотека заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №42 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №43 - открытая онлайн библиотека Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если f(x) ≥ 0 непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

Геометрический смысл доказанных неравенств таков: площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника с основанием, равным основанию трапеции, и высотой, равной наименьшей ординате трапеции, и меньше площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной наибольшей ординате трапеции (рис. 1).

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №44 - открытая онлайн библиотека Находя границы для интеграла, мы, как говорят, производим его оценку. Может случиться, что весьма трудно или даже невозможно найти точное значение интеграла, а оценивая его, мы узнаем, хотя бы грубо, приближенное его значение. С такого рода оценками приходится довольно часто встречаться в математике.

Указанные в теореме об оценке определенного интеграла границы для интеграла тем более точны, чем короче интервал интегрирования и чем меньше линия y=f(x) отличается по положению от прямой, параллельной оси Ox.

4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Произ­водная от определенного интеграла с переменным верхним пределом. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона-Лейбница.