Тема 2. Числовые последовательности

Тема 2. Числовые последовательности

Если каждому числу nиз натурального ряда чисел 1, 2, 3, …, n поставлено в соответствие действительное число xn, то множество действительных чисел x1, x2, …, xn называется числовой последовательностью.

x1, x2, …, xn - элементы последовательности

n – номер последовательности

обозначение: сокращенно: {xn}

Арифметические действия над числовыми последовательностями

1. Произведение на постоянное число m

m{xn}={m x xn}={mx1, mx2, mx3…mxn}

2.Сумма {xn}+{yn}={xn+yn}={x1+y1, x2+y2, xn+yn}

3.Разность {xn}-{yn}={xn-yn}={x1-y1, x2-y2,…xn-yn}

4. Частное

Тема 2. Числовые последовательности - №1 - открытая онлайн библиотека

При условии, что yn¹0

Убывающая последовательность – это такая последовательность, у которой каждый предыдущий член больше последующего, т.е.

an+1 < an для всех n

{ } a1 = 1, a2 = , a3 = Если an+1 - an < 0, то убывающая
n Если an+1 - an > 0, то возрастающая

Возрастающая последовательность – это такая последовательность, у которой каждый последующий член последовательности больше предыдущего, т.е.

an< an+1 для всех n

1. { }   т.к.   <   - убывающая  
n2 (n+1)2 n2  
2. { 3n-1 } an= 3n-1 an+1 = 3n+2  
n n n+1  
  3n+2 3n-1 = 3n2+2n-(3n-1)(n+1) = >0
  n+1 n n(n+1) n (n+1)
                                             

т.е. an+1 > an - возрастающая

Предел числовой последовательности

Число a называется пределом числовой последовательности, если существует такое положительное число e, для которого выполняется условие:

ïxn-aï<e, при этом последовательность {xn} называется сходящейся.

Обозначение: lim xn = a

Или: Число a называется пределом числовой последовательности, если

при n ® ¥ xn® a

Если последовательность не имеет предела, она называется расходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {an}= одному и тому же числу c, то c = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел

3. Предел от суммы двух последовательностей равен сумме пределов этих последовательностей.

lim (an± bn) = lim an± lim bn

n® ¥ n® ¥ n® ¥

4. Предел произведения двух последовательностей равен произведениям этих последовательностей

lim anx bn= lim anx lim bn

n® ¥ n® ¥ n® ¥

5. Предел частности двух последовательностей равен частному от пределов двух последовательностей

    lim n® ¥ an     = lim an n® ¥
bn lim bn n® ¥

6. Предел произведения постоянной величины сна последовательность аnравен произведению постоянной величины на предел этой последовательности

lim (с an) = c x lim an

n® ¥ n® ¥

7. Предел постоянной величины равен самой этой величине.

lim c = c

n® ¥

Пример:

lim n® ¥ 8n - 3     = lim n® ¥ 8n - = lim n® ¥ 8 - = lim n® ¥ 8 - lim n® ¥ = 8 - 0 = -
n n n n
13 -7n - 7n - 7 lim n® ¥ - lim n® ¥ 0 - 7
n n n n
                                           

Тема 3.

Функции

Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x, соответствует одно или несколько определенных значений y.

При этом переменная x называется аргументом

Величина y зависит от величины x

Обозначение: y =¦(x) пример S=πR2

L=υt

Способы задания функций:

1. Табличный способ – функциональная зависимость записывается таблицей

2. Графический способ – состоит в изображении графика функции, т.е. множества точек (x, y) на плоскости

3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами:

a) Явный способ y = x2

b) Неявный способ xy = 5 Þ Тема 2. Числовые последовательности - №2 - открытая онлайн библиотека

c) Параметрический способ x = cos t; y = sin t

Основные свойства функций

1. Четность и нечетность

Функция y = ¦(x) называется четной, если для любых значений x из области определения, ¦(-x) =¦(x) и нечетной, если ¦(-x) = ¦(x)

Четная функция симметрична относительно оси OY.

Пример: (-x) 2= x2 – функция четная; (-х) 3= –х3 – функция нечетная.

Четная функция симметрична относительно оси OY.

Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

2. Монотонность.

Функция ¦=¦(x) называется возрастающей на промежутке x, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция ¦=¦(x) называется убывающей на промежутке x, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

3. Ограниченность.

Функция ¦(x) называется ограниченной с двух сторон на промежутке x, если существует такое положительное число M>0, для которого всегда выполняется условие:

ç ¦(x) ç £ M для любого x принадлежащего множеству x

Пример y = sin x

Ограничена на всей числовой оси, çsin xç £ 1

¦(x) £ M - ограниченная сверху

Пример: у = - х2 + 2

¦(x) ≥ m – ограниченная снизу

Пример: у = х2 + 3

4. Периодичность.

Функция ¦(x) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых x из области определения функции выполняется условие: ¦ (x + Т) =¦(x)

Пример: y = sin x имеет период Т = 2p(выполняется условие периодичности)

Предел функции.

Число b называется пределом функции ¦(x), при x ® a ,если по мере того как x приближается a, значение ¦(x) неограниченно приближается к b.

lim ¦(x) = b

Тема 2. Числовые последовательности - №3 - открытая онлайн библиотека x ® a

n

n = 1, 2, 3

Ноль (0) – предел последовательности

Непрерывность функции.

Определение 1: функция ¦(x) называется непрерывной в (·) x0, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тема 2. Числовые последовательности - №4 - открытая онлайн библиотека

Определение 2: функция y = ¦(x) называется непрерывной, если выполняется условие lim Dy = 0

Dx ® 0

Тема 2. Числовые последовательности - №5 - открытая онлайн библиотека D(дельта) – разность между новым и старым значением или D - приращение

D y = ¦ (x+Dx) - ¦(x) -приращение функции

Dx = (x+Dx) - x приращение аргумента D x

Тема 2. Числовые последовательности - №6 - открытая онлайн библиотека

Тема 2. Числовые последовательности - №7 - открытая онлайн библиотека Тема 2. Числовые последовательности - №8 - открытая онлайн библиотека Определение 3: предел слева: lim ¦(x)

x ® x0 – 0

Тема 2. Числовые последовательности - №9 - открытая онлайн библиотека Тема 2. Числовые последовательности - №10 - открытая онлайн библиотека предел справа: lim ¦(x)

Тема 2. Числовые последовательности - №11 - открытая онлайн библиотека

 
  Тема 2. Числовые последовательности - №12 - открытая онлайн библиотека

x ® x0 + 0

Функция называется непрерывной в (·) x0, если предел “слева” совпадает с пределом “справа” и равен значению функции в (·) x0.

Тема 2. Числовые последовательности - №13 - открытая онлайн библиотека

Функция ¦(x) называется разрывной в (·) x0, если в этой точке не выполнено не одно из трех условий непрерывности (определение 1, 2, 3).

Замечательные пределы.

 
 
Тема 2. Числовые последовательности - №14 - открытая онлайн библиотека Тема 2. Числовые последовательности - №15 - открытая онлайн библиотека
Тема 2. Числовые последовательности - №16 - открытая онлайн библиотека
 
 
Тема 2. Числовые последовательности - №17 - открытая онлайн библиотека

Асимптота.

Асимптотой называется прямая, к которой приближается точка графика функции при неограниченном удалении ее от начала координат.

Существует три вида асимптот:

1. вертикальная

2. горизонтальная

3. наклонная

Правила нахождения асимптот:

1. Вертикальная асимптота бывает в точках, где функция не существует (х ≠ х0). Если хотя бы один из пределов функции: слева или справа, не существует, то прямая х = х0 является вертикальной асимптотой.

 
 
Тема 2. Числовые последовательности - №18 - открытая онлайн библиотека

2.

, прямая тогда у = b
Тема 2. Числовые последовательности - №19 - открытая онлайн библиотека
Пусть функция определена при достаточно больших Х и существует конечный предел

является горизонтальной асимптотой

Тема 2. Числовые последовательности - №20 - открытая онлайн библиотека
≠ 0
Тема 2. Числовые последовательности - №21 - открытая онлайн библиотека
3. Пусть функция определена при достаточно больших Х и существует конечный предел

и

тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой

Тема 4. Производная.

Производной функции y = ¦(x) в точке x0 называется предел при D x ® 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует)

y¢ = lim D x ® 0 D y = lim D x ® 0 ¦ (x0 + Dx) -¦(x0)
D x D x

Производная функции имеет несколько обозначений

y¢; ¦ ¢(x) ; dy ; d ¦(x)
dx dx

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрический смысл производной.

Тема 2. Числовые последовательности - №22 - открытая онлайн библиотека

Пусть функция y = ¦(x) определена и непрерывна на [a, b]

Пусть (·) M соответствует некоторому значению x0, а (·) P значению x0 +D x, где D x - приращение аргумента

Проведем через (·)M и (·)P прямую (секущую).

Ðj (D x) - угол между секущей и осью 0 x.

Касательной S к графику функции ¦(x) в (·)M называется предельное положение секущей MP при неограниченном приближении (·)P по графику к (·)M (или то же самое при D x ® 0)

tg j(Dx)= NP = Dy = ¦ (x0+Dx) - ¦ (x0)
MN Dx Dx

Т.к. при Dx ® 0 секущая MP переходит в касательную, то Ðj0 – угол касательной с осью 0x.

lim tg j(Dx) = tg j0

D x ® 0

С другой стороны

lim tg j(Dx) = lim D x ® 0 D x ® 0 ¦ (x0+ Dx) - ¦(x0) = ¦¢(x0) Þ ¦¢(x0) = tg j0
Dx

Производная функции ¦¢(x) в (·)x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции ¦(x) в точке M ( x0 , ¦(x0) ).

Уравнение касательнойy =¦(x0) -¦¢(x0)(x- x0)

Физический смысл производной: скорость изменения функции в точке.

Функция ¦(x) называется дифференцируемой в (·)x0, если её приращение Dy в этой точке можно представить в виде: Dy = A * Dx + a(Dx)* Dx

A - некоторое число, не зависящее от Dx,

a(Dx) – функция аргумента Dx, являющаяся бесконечно малой при Dx ® 0,

т.е. lim a(Dx) = 0

D x ® 0

Значение производной функции Тема 2. Числовые последовательности - №23 - открытая онлайн библиотека в точке Тема 2. Числовые последовательности - №24 - открытая онлайн библиотека обозначают Тема 2. Числовые последовательности - №25 - открытая онлайн библиотека .

Дифференциалом dx независимой переменной х называют её приращение Тема 2. Числовые последовательности - №26 - открытая онлайн библиотека .

Дифференциалом Тема 2. Числовые последовательности - №27 - открытая онлайн библиотека называется Тема 2. Числовые последовательности - №28 - открытая онлайн библиотека .

Примечание: производная функции Тема 2. Числовые последовательности - №23 - открытая онлайн библиотека есть некоторая функция Тема 2. Числовые последовательности - №30 - открытая онлайн библиотека , произведенная (т.е. полученная по определенным правилам) из данной функции.

Правила дифференцирования

Пусть ¦(x) = U y(x) = V

1. C¢ = 0, где C = const

2. [a ´ ¦(x)]¢ = a ´ ¦¢(x) – (постоянная a выносится за знак дифференциала)

[a ´ U]¢ = a ´ U¢

3. (U + V)¢ = U¢ + V¢ – (производная суммы равна сумме производных)

4. (U ´ V)¢ = U¢V + UV¢

5. (UVW)¢ = U¢VW + UV¢W + UVW¢

6. ( U = U¢V - UV¢
V V2

7. Производная степенной функции: y=xn y¢ = n ´ xn-1

8. Производная тригонометрических функций:

а) y = sin x y¢ = cos x

б) y = cos x y¢ = - sin x

в) y = tg x

y¢ =     x ¹ P + nP  
cos2 x

г) y = ctg x

y¢ = - x ¹ Pn
sin2 x

9. Производная логарифмической функции y = loga x

y¢ = ´ loga e =
x x ln a

10. Производная показательной функции y = ax

y¢ = ax ln a

y = ex Þ y¢ = ex

11. Производная сложной функции

Если y = ¦ ( g(x) ), то y¢(x)¢ = ¦¢(g) ´ g¢(x) или y = ¦(U) , где U = g(x) Þ

y¢ = ¦¢(U) ´ U¢

Пример нахождения производной:

y = ln(x3 + 1)

заменим (x3 + 1) новой переменной z, тогда y = ln z

Тема 2. Числовые последовательности - №31 - открытая онлайн библиотека
Производная y¢ = (lnz)¢ z¢

(lnz)¢=

Тема 2. Числовые последовательности - №32 - открытая онлайн библиотека
z¢ = (x3 + 1)¢ = = (x3)¢ + (1)¢ = 3x3-1 + 0 = 3x2

y¢ =

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Пусть функции f(x) и Тема 2. Числовые последовательности - №33 - открытая онлайн библиотека дифференцируемы в окрестности точки а, причем производная Тема 2. Числовые последовательности - №34 - открытая онлайн библиотека .

Если обе функции бесконечно малые или бесконечно большие при Тема 2. Числовые последовательности - №35 - открытая онлайн библиотека , т.е. если частное Тема 2. Числовые последовательности - №36 - открытая онлайн библиотека в точке а представляет неопределенность вида Тема 2. Числовые последовательности - №37 - открытая онлайн библиотека или Тема 2. Числовые последовательности - №38 - открытая онлайн библиотека , то Тема 2. Числовые последовательности - №39 - открытая онлайн библиотека , при условии, что предел отношения производных существует (конечный или бесконечный).

Правило применимо и для случая, когда Тема 2. Числовые последовательности - №40 - открытая онлайн библиотека . Раскрытие неопределенностей вида Тема 2. Числовые последовательности - №41 - открытая онлайн библиотека , Тема 2. Числовые последовательности - №42 - открытая онлайн библиотека , Тема 2. Числовые последовательности - №43 - открытая онлайн библиотека , Тема 2. Числовые последовательности - №44 - открытая онлайн библиотека , Тема 2. Числовые последовательности - №45 - открытая онлайн библиотека при помощи алгебраических преобразований и логарифмирования сводится к раскрытию неопределенностей вида Тема 2. Числовые последовательности - №37 - открытая онлайн библиотека и Тема 2. Числовые последовательности - №38 - открытая онлайн библиотека .

Замечание: правило Лопиталя применимо тогда, когда существует предел отношения производных. Если предел отношения функций существует, а предел отношения производных не существует, надо раскрывать неопределенности другим способом.

Производную Тема 2. Числовые последовательности - №48 - открытая онлайн библиотека от у = f(x) будем называть производной первого порядка; производную от первой производной называют второй производной (или производной второго порядка) от функции у = f(x) и обозначают Тема 2. Числовые последовательности - №49 - открытая онлайн библиотека или Тема 2. Числовые последовательности - №50 - открытая онлайн библиотека ; производную от производной второго порядка называют третьей производной и обозначают Тема 2. Числовые последовательности - №51 - открытая онлайн библиотека или Тема 2. Числовые последовательности - №52 - открытая онлайн библиотека и т.д.

Производная от производной (n – 1)-го порядка называется производной n-го порядка от функции у = f(x) и обозначается Тема 2. Числовые последовательности - №53 - открытая онлайн библиотека или Тема 2. Числовые последовательности - №54 - открытая онлайн библиотека .

Если функция у = f(x) дифференцируема в интервале (a,b) и имеет положительную (отрицательную) производную Тема 2. Числовые последовательности - №30 - открытая онлайн библиотека , то функция f(x) возрастает (убывает) в этом интервале.

Замечание: производная в отдельных точках интервала может равняться нулю.

тема 2. Числовые последовательности

Если каждому числу nиз натурального ряда чисел 1, 2, 3, …, n поставлено в соответствие действительное число xn, то множество действительных чисел x1, x2, …, xn называется числовой последовательностью.

x1, x2, …, xn - элементы последовательности

n – номер последовательности

обозначение: сокращенно: {xn}