Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека может быть задана функцией распределения (называемой также интегральной функцией распределения)

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №2 - открытая онлайн библиотека или же плотностью распределения вероятностей (называемой также дифференциальной функцией распределения):

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №3 - открытая онлайн библиотека (1)

Равенство (1) имеет место в точках непрерывности функции Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №4 - открытая онлайн библиотека .

Зная плотность распределения вероятностей, можно найти функцию распределения:

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №5 - открытая онлайн библиотека (2).

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №6 - открытая онлайн библиотека

2. Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №7 - открытая онлайн библиотека . (3)

В частности, если все возможные значения случайной величины Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека принадлежат интервалу (a, b), то

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №9 - открытая онлайн библиотека .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека примет значение Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №11 - открытая онлайн библиотека , определяется равенствами:

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №12 - открытая онлайн библиотека

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №13 - открытая онлайн библиотека . (4).

Задача образец.

Случайная величина Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека задана плотностью распределения вероятностей:

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №15 - открытая онлайн библиотека

Найти функцию распределения Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №16 - открытая онлайн библиотека

Решение. Если Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №17 - открытая онлайн библиотека , то Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №18 - открытая онлайн библиотека , следовательно,

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №19 - открытая онлайн библиотека

Если Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №20 - открытая онлайн библиотека , то Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №21 - открытая онлайн библиотека

Если Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №22 - открытая онлайн библиотека , то

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №23 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, случайная величина Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека имеет следующую функцию распределения:

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №25 - открытая онлайн библиотека

Задача 1.

Случайная величина Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека задана функцией распределения

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №27 - открытая онлайн библиотека

Найти:

а) плотность распределения вероятностей Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №28 - открытая онлайн библиотека ;

б) графики функций Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №4 - открытая онлайн библиотека и Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №28 - открытая онлайн библиотека ;

в) по известной функции Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №4 - открытая онлайн библиотека и по найденной функции Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №28 - открытая онлайн библиотека найти вероятность того, что в результате испытания Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека примет значения, не меньшее 2,1 и не большее 2,5.

Дать геометрическую интерпретацию величины найденной вероятности Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №34 - открытая онлайн библиотека

Ответ: а) Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №35 - открытая онлайн библиотека ;

б)

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №36 - открытая онлайн библиотека

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №37 - открытая онлайн библиотека

в) 0,24.

Задача 2.

Случайная величина задана функцией распределения

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №38 - открытая онлайн библиотека

Найти:

а) постоянные b и с.

б) плотность распределения вероятностей величины Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: а) Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №40 - открытая онлайн библиотека Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №41 - открытая онлайн библиотека ;

б) Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №42 - открытая онлайн библиотека

Задача 3.

Случайная величина Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека , все возможные значения которой принадлежат интервалу Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №44 - открытая онлайн библиотека , задана в этом интервале плотностью распределения вероятностей Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №45 - открытая онлайн библиотека . Найти коэффициент Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №46 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №47 - открытая онлайн библиотека

Задача 4.

График плотности распределения вероятностей Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №28 - открытая онлайн библиотека случайной величины Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека имеет вид, изображенной на рис. 1.

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №50 - открытая онлайн библиотека

Найти аналитическое выражение для Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №28 - открытая онлайн библиотека на всей числовой оси.

Ответ: Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №52 - открытая онлайн библиотека

Задача 5.

Случайная величина Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека подчинена закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на отрезке Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №54 - открытая онлайн библиотека рис.2.

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №55 - открытая онлайн библиотека

Указание: Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №56 - открытая онлайн библиотека

Уравнения прямой Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №57 - открытая онлайн библиотека и прямой Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №58 - открытая онлайн библиотека найти из уравнения Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №59 - открытая онлайн библиотека , где Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №60 - открытая онлайн библиотека отрезки отсекаемые прямой на осях. Получиться для Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №61 - открытая онлайн библиотека Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №62 - открытая онлайн библиотека и для Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №58 - открытая онлайн библиотека Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №64 - открытая онлайн библиотека .

Найти:

а) плотность распределения вероятностей этой случайной величины;

б) вероятность попадания величины Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека в интервал Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №66 - открытая онлайн библиотека

ответ: а) Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №67 - открытая онлайн библиотека

Задача 6.

Дана функция Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №68 - открытая онлайн библиотека . Найти значение постоянного множителя Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №69 - открытая онлайн библиотека , при котором эта функция могла бы характеризовать плотность распределения вероятностей случайной величины Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека при условии, что все возможные значения величины Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека находятся на луче Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №72 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №73 - открытая онлайн библиотека .

Задача 7.

Дана функция Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №74 - открытая онлайн библиотека . Найти такое значение постоянного множителя Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №69 - открытая онлайн библиотека , при котором эта функция могла бы охарактеризовать плотность распределения вероятностей случайной величины Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека при условии, что Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №77 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №78 - открытая онлайн библиотека .

Задача 8.

Случайная величина Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека на всей числовой оси задана дифференциальной функцией распределения Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №80 - открытая онлайн библиотека (закон Коши).

Найти:

а) функцию распределения случайной величины Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека ;

б) вероятность того, что в результате испытания Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека примет значение из интервала Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №83 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: а) Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №84 - открытая онлайн библиотека ; б) Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины - №85 - открытая онлайн библиотека .