Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики

Самостоятельная работа (4 часа)

Цель: Выработать навык построения графиков степенной и показательной функций.

Показательная функция

y = ax

y
x
a>1
a<1
y
x
y=2x
y=0,5x
y=3x


Степенная функция

y = xn

y
x
y=x2
y=x4
y
x
y=x3
y=x5

Решить самостоятельно.

Задание. Построить графики функций: y = Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №1 - открытая онлайн библиотека ; y = Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №2 - открытая онлайн библиотека ; y = Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №3 - открытая онлайн библиотека -1

Форма контроля: проверка конспекта и устный опрос.

Самостоятельная работа № 13

Тема 4.3. Логарифмическая функция. Свойства и график.

Самостоятельная работа (2 часа)

· изучить свойства логарифмической функции.

· построение графиков логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция y= Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №4 - открытая онлайн библиотека , (х Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №5 - открытая онлайн библиотека ) называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция y= Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №4 - открытая онлайн библиотека является обратной по отношению к показательной функции у= Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №7 - открытая онлайн библиотекаТема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №5 - открытая онлайн библиотека ) . Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 8).

Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №9 - открытая онлайн библиотека Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №10 - открытая онлайн библиотека

y
x
y=log2 x
y=log0,4 x
y=log4 x
y
x
a>1
a<1

Приведем основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: D(y) =R+ .

2) Область значений функции: E(y) =R.

3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №11 - открытая онлайн библиотека =0, Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №12 - открытая онлайн библиотека =0, .

4) Функция y= Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №4 - открытая онлайн библиотека , Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №14 - открытая онлайн библиотека возрастает в промежутке Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №15 - открытая онлайн библиотека (рис. 8 а). При этом, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а - меньших единицы, отрицательны.

5) Функцияy= Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №4 - открытая онлайн библиотека , (х Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №17 - открытая онлайн библиотека , убывают в промежутке Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №15 - открытая онлайн библиотека . При этом, логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а - больших единицы, отрицательны.

4. Найти область определения функции: y= Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №19 - открытая онлайн библиотека

Решение. Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:

Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №20 - открытая онлайн библиотека

Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим 1 на Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №21 - открытая онлайн библиотека :
Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №22 - открытая онлайн библиотека

Так как основание логарифма8 >1 , то, согласно свойствам логарифма, переходим к системе: Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №23 - открытая онлайн библиотека т.е. Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №24 - открытая онлайн библиотека

Последняя система равносильна неравенству: Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №25 - открытая онлайн библиотека ,

которое решается методом интервалов (причем x≠3, и x ≠ 1 ). С помощью рис. 9 получаем ответ:[-1;1) Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №26 - открытая онлайн библиотека (3;5].

Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики - №27 - открытая онлайн библиотека

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение логарифмической функции.

2. Какие область определения и область значения функции у = logax?

3. В каком случае функция у = logax является возрастающей, в каком убывающей?

4. При каких значениях x функции у = logax принимает положительные значения, при каких отрицательные?

Тест для самопроверки. ( Варианты ответов: да нет)

1. Логарифмическая функция у = logax определена при любом х

2. Функция у = logax определена при а > 0, а =/= 1, х > 0.

3. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел.

4. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел.

5. Логарифмическая функция – четная.

6. Логарифмическая функция – нечетная.

7. Функция у = logax – возрастающая при а >1.

8. Функция у = logax при положительном, но меньшем единицы основании, – возрастающая.

9. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).

10. График функции у = logax пересекается с осью ОХ.

11. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.

12. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.

13. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).

14. График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.

15. Существует логарифм отрицательного числа.

16. Существует логарифм дробного положительного числа.

17. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).

Самостоятельная работа №14