Основные методы интегрирования

Для вычисления неопределенных интегралов часто используют так называемые стандартные методы интегрирования. Перечислим основные из них.

Метод замены переменной. Добиться упрощения подынтегрального выражения можно при помощи замены переменной интегрирования. Суть этого метода заключается в замене переменной интегрирования х на некоторую непрерывную функцию х = j(t), имеющую непрерывную производную φ’(t) и обратную функцию Основные методы интегрирования - №1 - открытая онлайн библиотека , с тем, чтобы преобразовать исходный интеграл к более простому виду. Тогда Основные методы интегрирования - №2 - открытая онлайн библиотека  и

Основные методы интегрирования - №3 - открытая онлайн библиотека                                                                       (4.10)

Формула (4.10) называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Для доказательства, как мы это делали ранее, возьмем производные по переменной х от левой и правой части и проверим, что они совпадают (формулы 4.5, 4.6)

Основные методы интегрирования - №4 - открытая онлайн библиотека

Для вычисления производной от правой части вспомним, что Основные методы интегрирования - №5 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Основные методы интегрирования - №6 - открытая онлайн библиотека

Алгоритм метода замены переменной следующий. Вначале необходимо найти замену переменной интегрирования x = j(t), записать интеграл с новой переменной интегрирования t, вычислить его, а затем вновь вернуться к исходной переменной интегрирования, использовав обратную функцию Основные методы интегрирования - №1 - открытая онлайн библиотека .

Простейшие замены.К простейшим относятся линейная замена и замена типа «подведение под знак дифференциала».

Линейная замена основана на следующем соотношении. Пусть интеграл

Основные методы интегрирования - №8 - открытая онлайн библиотека

является табличным. Тогда можно вычислить интеграл от функции f(ax+b)

Основные методы интегрирования - №9 - открытая онлайн библиотека .                                                             (4.11)

Для доказательства возьмем производные от левой и правой части равенства (4.11)

Основные методы интегрирования - №10 - открытая онлайн библиотека .

Основные методы интегрирования - №11 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1. Вычислить Основные методы интегрирования - №12 - открытая онлайн библиотека .

Решение. За базовый возьмем табличный интеграл

Основные методы интегрирования - №13 - открытая онлайн библиотека .

Тогда

Основные методы интегрирования - №14 - открытая онлайн библиотека .

Пример 2. Вычислить Основные методы интегрирования - №15 - открытая онлайн библиотека .

Решение. За базовый возьмем табличный интеграл

Основные методы интегрирования - №16 - открытая онлайн библиотека .

Тогда

Основные методы интегрирования - №17 - открытая онлайн библиотека .

Замена типа подведение под знак дифференциала основана на формуле

Основные методы интегрирования - №18 - открытая онлайн библиотека           (4.12)

т.е. в данном случае сделав замену Основные методы интегрирования - №19 - открытая онлайн библиотека , x = f– 1(t) мы проверяем, есть ли под знаком интеграла dt, а не находим dx.

Пример 3. Найти Основные методы интегрирования - №20 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Особенностью данного интеграла является то обстоятельство, что его подынтегральное выражение содержит сомножитель Основные методы интегрирования - №21 - открытая онлайн библиотека  который является дифференциалом функции arctg x. Поэтому в данном интеграле целесообразно ввести замену переменной:

t = arctg x.

Отсюда

dt = d(arctg(x)) = Основные методы интегрирования - №22 - открытая онлайн библиотека иearctg x= et

Подставляя в исходный интеграл, имеем 

Основные методы интегрирования - №20 - открытая онлайн библиотека  = Основные методы интегрирования - №24 - открытая онлайн библиотека earctg x + C.

Пример 4. Найти Основные методы интегрирования - №25 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Здесь уместна замена

t = cos x,

т.к. dt = - sin x dx, и sin3x dx = sin2x sinx dx = (1 – cos2(x)) sinxdx.

Поэтому

Основные методы интегрирования - №26 - открытая онлайн библиотека

Метод интегрирования по частям. Пусть u(x) и v(x) две дифференцируемые функции. Метод интегрирования по частям позволяет вычислять интегралы от произведений функций и основан на формуле

Основные методы интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека                                                                

или, в развернутом виде,

Основные методы интегрирования - №28 - открытая онлайн библиотека                                   (4.13)

Эта формула носит название формулы интегрирования по частям. Ее применение полезно в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения двух функций Основные методы интегрирования - №29 - открытая онлайн библиотека и выражение Основные методы интегрирования - №30 - открытая онлайн библиотека  для взятия интеграла проще, чем подынтегральное выражение Основные методы интегрирования - №31 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения функций u(x) и v(x) , имеем

Основные методы интегрирования - №32 - открытая онлайн библиотека .

Проинтегрируем это равенство, учитывая, что (4.7)

Основные методы интегрирования - №33 - открытая онлайн библиотека .

Тогда

Основные методы интегрирования - №34 - открытая онлайн библиотека .

Из этого соотношения легко получить формулу (4.13).    

Пример 5. Найти Основные методы интегрирования - №35 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Использование формулы интегрирования по частям позволяет вместо исходного не табличного интеграла вычислить только интеграл от sinx. Покажем это, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.

Основные методы интегрирования - №36 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №37 - открытая онлайн библиотека = - x∙cos(x) + Основные методы интегрирования - №38 - открытая онлайн библиотека  =

= - x ∙ cos(x) + sin(x)+ C.

Обычно в интегралах за u(x) берут следующие функции:

ln(x), arсsin(x), arсcos(x), arсtg(x), arсctg(x)

а за v’(x) берут функции ех, sin(x), cos(x).

Функцию х n , где n натуральное число, можно относить и к первой и ко второй группе.

Метод разложения на простейшие. Правильной рациональной дробью R(x) называется отношение двух полиномов (многочленов)

Основные методы интегрирования - №39 - открытая онлайн библиотека                                 (4.14)

где Основные методы интегрирования - №40 - открытая онлайн библиотека  коэффициенты многочленов Основные методы интегрирования - №41 - открытая онлайн библиотека  и Основные методы интегрирования - №42 - открытая онлайн библиотека .

Если Основные методы интегрирования - №43 - открытая онлайн библиотека дробь называется неправильной, такие дроби необходимо упростить, выделив целую часть и остаток в виде правильной дроби.

Знаменатель рациональной дроби имеет ровно n корней, среди которых есть действительные корни (кратные, т.е. повторяющиеся, и некратные) и комплексные корни, также кратные и некратные (комплексные корни являются корнями квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом).

Простейшими дробями или просто простейшими называются дроби вида

1. Основные методы интегрирования - №44 - открытая онлайн библиотека ,

соответствует действительному некратному корню знаменателя а,

2. Основные методы интегрирования - №45 - открытая онлайн библиотека , k – целое положительное число,

соответствует действительному кратному корню знаменателя а, число kназывается кратностью корня,

3. Основные методы интегрирования - №46 - открытая онлайн библиотека , где знаменатель Основные методы интегрирования - №47 - открытая онлайн библиотека  имеет только комплексней корни, т.е. Основные методы интегрирования - №48 - открытая онлайн библиотека ,

соответствует двум комплексным некратным корням,

4. Основные методы интегрирования - №49 - открытая онлайн библиотека ,k – целое положительное число,

соответствует двум комплексным кратным корням, число kкратность корня.

Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы элементарных дробей, поэтому приведем интегралы от первых трех видов простейших

1. Основные методы интегрирования - №50 - открытая онлайн библиотека .                                                     (4.15)

2. Основные методы интегрирования - №51 - открытая онлайн библиотека .             (4.16)

3. Основные методы интегрирования - №52 - открытая онлайн библиотека .          (4.17)

Пример 6. Вычислить Основные методы интегрирования - №53 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Используем формулу (4.15)

Основные методы интегрирования - №54 - открытая онлайн библиотека .

Пример 7. Вычислить Основные методы интегрирования - №55 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Используем формулу (4.16)

Основные методы интегрирования - №56 - открытая онлайн библиотека .

Пример 8. Вычислить Основные методы интегрирования - №57 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Так как Основные методы интегрирования - №58 - открытая онлайн библиотека , то используем формулу (4.17)

Основные методы интегрирования - №59 - открытая онлайн библиотека

Приведем примеры разложения правильной рациональной дроби на простейшие слагаемые, исходя из следующего правила:

каждому некратному корню соответствует простейшая первого вида,

каждому кратному корню кратности kсоответствует k-1 простейшая второго вида с убывающими степенями знаменателя и одна простейшая первого вида,

каждым двум некратным комплексным корням соответствует простейшая третьего вида.

Пример 9. Разложить на простейшие рациональную дробь Основные методы интегрирования - №60 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Корни знаменателя: х1 = -1 действительный некратный корень, и х2 = 0 действительный кратный корень кратности 2. Следовательно

Основные методы интегрирования - №61 - открытая онлайн библиотека .

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В1 и В2 приведем правую часть выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены в числителе

Основные методы интегрирования - №62 - открытая онлайн библиотека .

Приравняем числители исходного и конечного выражений

Основные методы интегрирования - №63 - открытая онлайн библиотека .

Такое соотношение возможно тогда и только тогда когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях х (если какая-то степень х отсутствует, то это значит, что коэффициент при ней равен нулю). Получим систему

Основные методы интегрирования - №64 - открытая онлайн библиотека .

Окончательно

Основные методы интегрирования - №65 - открытая онлайн библиотека .

Пример 10. Разложить на простейшие рациональную дробь Основные методы интегрирования - №66 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Корни знаменателя: х1=0 действительный некратный корень, и два комплексных корня квадратного трехчлена Основные методы интегрирования - №67 - открытая онлайн библиотека  с отрицательным дискриминантом

Основные методы интегрирования - №68 - открытая онлайн библиотека .

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В и D приведем правую часть выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены

Основные методы интегрирования - №69 - открытая онлайн библиотека .

Приравняем числители и коэффициенты при одинаковых степенях х

Основные методы интегрирования - №70 - открытая онлайн библиотека .

Получим систему

Основные методы интегрирования - №71 - открытая онлайн библиотека

Окончательно

Основные методы интегрирования - №72 - открытая онлайн библиотека .

Вычислим интегралы от рациональных дробей примеров 9 и 10, используя формулы (4.15-4.17)

Основные методы интегрирования - №73 - открытая онлайн библиотека ,

Основные методы интегрирования - №74 - открытая онлайн библиотека .

Замечание. Существует большое количество интегралов, которые методом замены переменной можно свести к интегралам от рациональных дробей. К таким интегралам относятся интегралы от иррациональных функций вида

Основные методы интегрирования - №75 - открытая онлайн библиотека

В этом случае надо сделать замену переменной вида Основные методы интегрирования - №76 - открытая онлайн библиотека , где r – общий знаменатель дробей m / n, k / s…

Пример. Вычислить интеграл Основные методы интегрирования - №77 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Степени корней ¼ и Основные методы интегрирования - №78 - открытая онлайн библиотека  имеют общий знаменатель 12. Следовательно, замена

Основные методы интегрирования - №79 - открытая онлайн библиотека = Основные методы интегрирования - №80 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №81 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №82 - открытая онлайн библиотека Получили неправильную рациональную дробь. Разделим числитель на знаменатель

Основные методы интегрирования - №83 - открытая онлайн библиотека

Следовательно  

Основные методы интегрирования - №84 - открытая онлайн библиотека .

Продолжим вычисление интеграла

Основные методы интегрирования - №85 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №86 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №87 - открытая онлайн библиотека

Вычислим отдельно интеграл от правильной рациональной дроби методом разложения на простейшие. Знаменатель имеет корни: t1= 1, t2= -1 и два комплексных корня, соответствующих множителю t2+ 1.

Основные методы интегрирования - №88 - открытая онлайн библиотека .

Раскрыв скобки и приведя подобные члены получим

Основные методы интегрирования - №89 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №90 - открытая онлайн библиотека

Подставим полученное разложение рациональной дроби в интеграл

Основные методы интегрирования - №91 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №92 - открытая онлайн библиотека

Определенный интеграл.