Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №1 - открытая онлайн библиотека (9.3)

Деформацияның басты сыңарлары мынандай теңсіздікке бағынады деп уәделесейік: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №2 - открытая онлайн библиотека .

Жаңа координатты жүйеде тензордың бүйірдегі сыңарлары нөльге тең болады, яғни ығысу деформациясы жоқ болады, ал координаттар осьтері бағытындағы сызықтық деформацияларға тек орын бар болады. Қабырғалары координатты жазықтықтарға параллельді, биіктігі Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №3 - открытая онлайн библиотека және көлемі Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №4 - открытая онлайн библиотека болатын элементарлы куб деформацияның нәтижесінде қабырғалары Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №5 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №6 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №7 - открытая онлайн библиотека тең болатын тікбұрышты параллелепипедке айналады.

Осы параллелепипедтің көлемі мынаған тең:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №8 - открытая онлайн библиотека .

Екінші реттік кіші мөлшерге дейінгі дәлдікпен көлемнің салыстырмалы өзгеруі мынаған тең болады: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №9 - открытая онлайн библиотека . (9.4)

Деформацияның басты сыңарлары Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №10 - открытая онлайн библиотека мына сипаттамалық теңдеудің: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №11 - открытая онлайн библиотека нақты түбірі болады. Жоғарыдағы теңдеу жайылған түрде былай жазылады:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №12 - открытая онлайн библиотека . (9.5)

Деформация тензорының инварианты мынаған тең:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №13 - открытая онлайн библиотека ; (9.6)

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №14 - открытая онлайн библиотека ; (9.7)

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №15 - открытая онлайн библиотека . (9.8)

Бірінші инварианттың физикалық мағанасы бар. Осы мағана бойынша, егер тұтас орта деформацияланса, онда бірінші инвариант Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №16 - открытая онлайн библиотека көлемнің салыстырмалы өзгеруіне тең болады. Айтылған физикалық мағана тағыда мынандай теңдіктен шығады:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №17 - открытая онлайн библиотека . (9.9)

Деформацияның девиаторы. Деформация тензорын девиатор Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №18 - открытая онлайн библиотека және шарлық тензор Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №19 - открытая онлайн библиотека қосындысы түрінде көрсетуге болады, яғни

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №20 - открытая онлайн библиотека немесе Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №21 - открытая онлайн библиотека . (9.10)

Анықтама бойынша Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №22 - открытая онлайн библиотека девиаторының бірінші инварианты нөльге тең. Сондықтан девиатор көлемнің өзгеруімен байланысты емес деформацияны бейнелеуді.

(9.13) формуласы шексіз кішкентай элементтің деформациясын екі деформацияның қосындысы түрінде көрсетеді. Бірінші деформация девиатормен сипатталады және көлемнің өзгеруінсіз элемент пішінің өзгеруін бейнелейді, ал екінші деформация (шарлық тензор) осы элементтің барлық жақтан біркелкі созылуымен немесе қысылуымен бейнеленеді.

Девиатор сыңарларын Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №23 - открытая онлайн библиотека әріпімен белгілейік, онда осы сыңарларды мынандай формуламен анықтауға болады: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №24 - открытая онлайн библиотека . (9.11)

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №25 - открытая онлайн библиотека девиаторы симметрия талабын орындайтын болғандықтан, оны диагональді түрге келтіруге болады. Сірә, деформация девиаторының басты бағыты деформация тензорының басты бағытымен дәл сәйкес келеді.

Сипаттамалық теңдеуде мынандай түр бар:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №26 - открытая онлайн библиотека немесе Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №27 - открытая онлайн библиотека (9.12)

Девиатордың бірінші инварианты нөльге тең. Екінші және үшінші инварианттар мынаған тең:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №28 - открытая онлайн библиотека (9.13)

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №29 - открытая онлайн библиотека (9.14)

Мынандай мөлшерді Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №30 - открытая онлайн библиотека (9.15)

ығысу деформациясының қарқындылығы деп атайды. Ары қарай осы мөлшер әр түрлі материалдың жүріс-тұрысын бейнеленген кезде кеңінен қолданалатын болады.

Бұрын көрсетілгендей илемділік деформация кезінде дененің көлемі өзгермейді және кіші деформацияның қосындысы мынаған тең болады: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №31 - открытая онлайн библиотека , демек Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №32 - открытая онлайн библиотека . Сондықтан илемділік деформация кезінде деформацияның шарлық тензоры нөльге тең болады және деформация тензоры девиатор болып саналады.

Осі симметриялы кернеу-деформация күйі үшін цилиндрлік координатта деформация формуласын шығарусыз былай жазайық:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №33 - открытая онлайн библиотека (9.16)

Бір координатты жазықтыққа параллельді және әрбір басқа екі координатты жазықтықпен бірдей 450 бұрышын құратын аудандарда ең үлкен (басты) Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №34 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №35 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №36 - открытая онлайн библиотека ығысу деформациялары пайда болады. Осы ығысу деформациялары басты сызықты деформациялары арқылы былай анықталады:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №37 - открытая онлайн библиотека ; Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №38 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №39 - открытая онлайн библиотека . (9.17)

Басты ығысу деформациялары бір-бірімен мынандай формуламен байланысқан:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №40 - открытая онлайн библиотека . (9.18)

Координатты осьтерге бірдей көлбеген алаңдарда (октаэдрлік алаңдарда) октаэдрлік деформациялар пайда болады.

Сызықтық октаэдрлік деформация орташа деформация болады, яғни

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №41 - открытая онлайн библиотека . (9.19)

Дененің көлемі тұрақты болып қалатын илемділік деформациясы кезінде мынандай шарт орындалады: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №42 - открытая онлайн библиотека . (9.20)

Октаэдрлік ығысу деформациясы немесе октаэдрлік ығысу мынандай формуламен анықталады: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №43 - открытая онлайн библиотека . (9.21)

Бұдан басқа, илемділік деформациясы теориясында деформацияның қарқындылығы деп аталатын оң скалярлық мөлшер кеңінен қолдануды тапты. Осы мөлшер мынандай формуламен анықталады:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №44 - открытая онлайн библиотека . (9.22)

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №45 - открытая онлайн библиотека мөлшерлері бір-бірінен тек тұрақты көбейткішпен айырмашылықта болады, яғни: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №46 - открытая онлайн библиотека ; Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №47 - открытая онлайн библиотека ; Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №48 - открытая онлайн библиотека ,

мұндағы Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №49 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №50 - открытая онлайн библиотека − абсолюттік мөлшері бойынша ең үлкен басты ығысу және басты сызықтық деформация.

Бұрын қолдаланған тәсілдерді қолданып, кернеуге салынған Мора диаграмма сияқты диаграмманы деформацияға да салуға болады. Бірақта Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №51 - открытая онлайн библиотека және γ координатасында салу қажет.

Деформацияның бірлестік теңдеулері. Тұтас орта қозғалған кезде кез келген материальды бөлшектің орын ауыстыруы үш функциямен ( Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №52 - открытая онлайн библиотека орын ауыстыру векторының Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №53 - открытая онлайн библиотека сыңарларымен) сипатталады. Ал осы бөлшектің айналасының деформациясы мынандай алты мөлшермен сипатталады: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №54 - открытая онлайн библиотека .

Егер тік есеп, яғни орын ауыстыру сыңарлары арқылы деформацияның сыңарларын есептеу, Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №55 - открытая онлайн библиотека функциясын координаталар бойынша дифференциалдауға алып келсе, онда қарама-қарсы есеп, яғни Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №56 - открытая онлайн библиотека функциясын Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №57 - открытая онлайн библиотека деформация сыңарлары бойынша табу, көп жағдайда шешімсіз болады.

Физикалық бұндай жағдай болуы мүмкін. Денені элементарлы параллелепипедтерге бөлейік және әрбір параллелепипедке деформацияның алты сыңарын белгілейік. Егер де деформацияның сыңарлары бір-бірімен белгілі теңдікпен байланысқан болмаса, онда жеке деформацияланған параллелепипедтен үздіксіз деформацияланған денені қайтадан жинау қиын болады. Параллелепидтердің арасында шексіз кішкентай бос орындар пайда болады.

Жоғарыда айтылғанг қатнастар оқулық [1; 4] берілген.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 2, бет 49 – 77); [2] (тарау 4, бет 111 – 121); [3] (тарау 1, бет 16 – 75); [4]: (тарау 3, бет 111 – 134).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 7, бет 38 – 58).

Бақылау сұрақтары:

1. Орын ауыстыруды кішкентай деп жорамалдау қандай жеңілдетуге алып келеді?

2. Элементарлы кубтың қандай деформациясын кішкентай деформация тензорының диагональдық сыңарлары бейнелейді?

3. Элементарлы кубтың қандай деформациясын кішкентай деформация тензорының бүйірдегі сыңарлары бейнелейді?

4. Қандай жағдайда деформация сыңарлары оң болады?

5. Кіші деформация тензорының сызықтық инвариантында қандай физикалық мағына бар?

№10 дәріс. Тұтас ортаның ағуы. Жылдамдық өрісі. Деформация жылдамдығы тензоры.

Материальды бөлшектің бастапқы және ағымдағы координаталарын байланыстыратын қатнастармен тұтас ортаның қозғалысы және деформациясы берілетіндігін біз анықтадық. Сызықтық емес тензорларды қолданып түпкі деформацияны (атап айтқанда осындай деформациялар металдарды қысыммен өңдеу процестеріне тән) бейнелеу үлкен математикалық қиындықтарға алып келеді. Сондықтан ағамдағы t уақыт мезгіліне сәйкес келетін құрама пішіннен жақын Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №58 - открытая онлайн библиотека уақыт мезгіліне сәйкес келетін құрама пішінге өту едәуір жеңіл. Осы кезде ағымдағы Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №59 - открытая онлайн библиотека коордиантасы бар материальды бөлшек Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №60 - открытая онлайн библиотека координатасы бар кеңістік нүктесіне көшірілінеді. Осындайда Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №61 - открытая онлайн библиотека -ды Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №62 - открытая онлайн библиотека -ға бөліп және Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №63 - открытая онлайн библиотека нөльге ұмтылдырып, шектікке өту арқылы жылдамдық векторының өрісін былай анықтаймыз: Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №64 - открытая онлайн библиотека .

Осы жылдамдық векторының өрісі барлық материальды бөлшектің лып етіп өтетін ағыс көрінісін бейнелейді. Жылдамдық өрісін біле отырып еркін материальды бөлшектің бастапқы және ағымдағы координаттары арасындағы байланысты қалай анықтауға болатындығын біз жоғарыда көрсеттік. Нәтижесінде түпкі деформацияны тауып талдау, жылдамдық өрісін жүйелі уақыт аралығында зерттеп анықтауға мүмкіндік пайда болады.

Жылдамдық өрісі векторлық өрістің жеке жағдайы болғандықтан, оны бейнелеу үшін векторлық өрістің жалпы теориясын қолдануға болады.

Жылдамдық өрісі

Тоқ сызығы. Жылдамдық өрісінің векторлық сызығы ток сызығы деп аталады. Ток сызығының әрбір нүктесіндегі жанамалар осы аймақтағы жылдамдық векторының бағытымен сәйкес келеді. Барлық векторлық сызықтың жиынтығы осы уақыт мезгіліндегі ағыс көрінісін құрайды. Жылдамдық өрісі стационарлы болуы мүмкін. Осы кездегі тұтас ортаның қозғылысы орныққан деп аталады және ағыстың көрінісі уақыт өткен сайын өзгермейді. Өзгеретін ағыс стационарлы емес жылдамдық өрісімен сипатталады.

Траектория. Материальды бөлшек М-ның траекториясы деп бөлшек қозғалған кезде бейнелейтін қисық сызықты атайды (10.1 сурет).

Материальды бөлшектің қозғалыс бағыты траекторияға жанама болып келеді. Сондықтан траекторияны бейнелейтін бөлшектің тез өзгеретін жайы арқылы өтетін ток сызығына траектория жанасады.

Сірә, орныққан қозғалыста траекториялар мен тоқ сызықтары бір – біріне дәл сәйкес келеді.

Ток сызығы мен траекторияның дифференциальдық теңдеулерін құрастырайық. Ол үшін, осы t уақыттысында кеңістікте жүргізілетін өте кішкентай кесінділерден материальды бөлшектің dt уақытындағы элементарлы орын ауыстыруын ажырату үшін мынандай белгілеуді еңгізейік:

- Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №65 - открытая онлайн библиотека - өте кішкентай кесінділер үшін;

- Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №66 - открытая онлайн библиотека - материальды бөлшектің элементарлы орын ауыстыруы үшін.

Ток сызығының жанамасының бағытымен осы нүктедегі жылдамдық векторының сәйкес келуі мынандай ток сызығының дифференциальды теңдік жүйесін береді:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №67 - открытая онлайн библиотека . (10.1)

Осы сияқты, траектория жанамасының бағытымен материальды бөлшектің элементарлы орын ауыстыру векторының сәйкес келуі мынанадай траекторияның дифференциальды теңдік жүйесін береді:

Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №68 - открытая онлайн библиотека . (10.2)

Орныққан қозғалыста жоғарыда келтірілген теңдіктер бір-біріне сәйкес келеді.

10.1 – сурет. Материальды бөлшектің траекториясы
Мора кернеуінің диаграммасы 4 страница - №69 - открытая онлайн библиотека