Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій

Похідна функції.

Нехай функція y=f(x) визначена в деякому околі точки х0. Надамо х0 приросту Dх і розглянемо відповідний приріст функції Df(x0)=f(x0+Dх)–f(x0).

Похідною функції y=f(x) у точці х0 називають границю відношення приросту Df(x0) функції до приросту Dх аргументу, коли приріст аргументу Dх прямує до нуля. Позначають Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №1 - открытая онлайн библиотека або Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №2 - открытая онлайн библиотека .

Отже, за означенням: Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №1 - открытая онлайн библиотека = Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №4 - открытая онлайн библиотека .

Якщо Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №4 - открытая онлайн библиотека =¥, то кажуть, що функції f у точці х0 має нескінченну похідну.

Для знаходження похідної функції f у точці х0 за означенням потрібно виконати такі кроки:

1. Надати аргументу х0 приросту Dх і знайти відповідний приріст функції Df(x0)=f(x0+Dх)–f(x0).

2. Скласти відношення Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №6 - открытая онлайн библиотека .

3. Знайти Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №7 - открытая онлайн библиотека . Якщо ця границя існує, то вона є похідною функції f у точці х0, тобто Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №7 - открытая онлайн библиотека = Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №1 - открытая онлайн библиотека .

Нехай функція y=f(x) визначена на півінтервалі Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №10 - открытая онлайн библиотека (на піввідрізку Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №11 - открытая онлайн библиотека ). Вважають, що функція f у точці х0 має ліву (праву) похідну, якщо в цій точці існує ліва (права) границя:

Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №12 - открытая онлайн библиотека Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №13 - открытая онлайн библиотека .

Для того щоб у точці х0 існувала похідна Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №1 - открытая онлайн библиотека , необхідно й достатньо, щоб у цій точці існувала ліва і права похідні цієї функції і щоб ліва похідна дорівнювала правій похідній.

Функцію, що має скінченну похідну в точці х0, називають диференційовною в цій точці. Якщо функція диференційовна в точці х0, то вона є неперервною в цій точці.

Нехай D1 – множина точок, у яких функція f диференційовна. Поставивши у відповідність кожному числу хÎD1 число Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №15 - открытая онлайн библиотека , одержимо нову функцію з областю визначення D1. Цю функцію називають похідною функції y=f(x) і позначають Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №15 - открытая онлайн библиотека або Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №17 - открытая онлайн библиотека , або Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №18 - открытая онлайн библиотека .

Операцію відшукання похідної функції називають диференціюванням функції.

Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №19 - открытая онлайн библиотека Геометричний зміст похідної: Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №1 - открытая онлайн библиотека дорівнює кутовому коефіцієнту k дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, тобто Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №21 - открытая онлайн библиотека =tg a, де a – кут між дотичною і додатним напрямом осі абсцис (рис.4.1).

Існування похідної функції f у точці х0 рівносильне існуванню дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0.

Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0: Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №22 - открытая онлайн библиотека .

Механічний зміст похідної: якщо матеріальна точка рухається за законом Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №23 - открытая онлайн библиотека , то Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №24 - открытая онлайн библиотека дорівнює швидкості точки в момент часу Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №25 - открытая онлайн библиотека , тобто Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №26 - открытая онлайн библиотека ; якщо матеріальна точка рухається із швидкістю, що змінюється за законом Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №27 - открытая онлайн библиотека , то Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №28 - открытая онлайн библиотека дорівнює прискоренню точки в момент часу Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №25 - открытая онлайн библиотека , тобто Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №30 - открытая онлайн библиотека .

Економічний зміст похідної: якщо Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №31 - открытая онлайн библиотека – кількість виробленої виробником продукції за час t, то Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №32 - открытая онлайн библиотека дорівнює продуктивності праці виробника в момент часу Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №25 - открытая онлайн библиотека , тобто Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій - №34 - открытая онлайн библиотека .