Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения

Свойства характеристической функции позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая характеристическую функцию как свертку (1.5), имеем

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №1 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №2 - открытая онлайн библиотека , сводящимся к умножению пси- функции на число Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №3 - открытая онлайн библиотека , (т.е. Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №4 - открытая онлайн библиотека ), то в импульсном представлении оператор координаты есть Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №5 - открытая онлайн библиотека .

Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №6 - открытая онлайн библиотека , просто сводящимся к умножению пси- функции на число Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №7 - открытая онлайн библиотека , т.е. Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №8 - открытая онлайн библиотека , то в координатном представлении оператор импульса есть Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №9 - открытая онлайн библиотека (изменение знака перед мнимой единицей Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №10 - открытая онлайн библиотека соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).

Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №11 - открытая онлайн библиотека

В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №12 - открытая онлайн библиотека , Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №13 - открытая онлайн библиотека

Здесь Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №14 - открытая онлайн библиотека - число степеней свободы

Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.

Все координаты коммутируют между собой, так же как и все импульсы коммутируют между собой

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №15 - открытая онлайн библиотека

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №16 - открытая онлайн библиотека

Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.

Преобразование Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).

Приложение 1. Дельта- функция и ее свойства.

Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].

Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.

Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №17 - открытая онлайн библиотека (П1.1)

В точке Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №18 - открытая онлайн библиотека рассматриваемый интеграл заведомо расходится. Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №19 - открытая онлайн библиотека в пределах от Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №20 - открытая онлайн библиотека до Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №21 - открытая онлайн библиотека . Регуляризованная версия исходного соотношения (П1.1) есть

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №22 - открытая онлайн библиотека

Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №23 - открытая онлайн библиотека

Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №24 - открытая онлайн библиотека всегда равен единице:

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №25 - открытая онлайн библиотека

Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №26 - открытая онлайн библиотека . Её максимум находится в точке Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №18 - открытая онлайн библиотека и равен Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №28 - открытая онлайн библиотека . При больших значениях обрезающего множителя Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №21 - открытая онлайн библиотека рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №30 - открытая онлайн библиотека . При увеличении Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №21 - открытая онлайн библиотека функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.

Последовательность функций Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №26 - открытая онлайн библиотека , отвечающая бесконечно растущей последовательности значений Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №21 - открытая онлайн библиотека , называется дельта-образной. Дельта-функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта-образной последовательности.

Таким образом,

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №34 - открытая онлайн библиотека

Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №35 - открытая онлайн библиотека (П1.2)

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №36 - открытая онлайн библиотека (П1.3)

Задача П1.1 Обоснуйте представления (П1.2) и (П1.3) для дельта- функции.

Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №37 - открытая онлайн библиотека , где

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №38 - открытая онлайн библиотека

Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №39 - открытая онлайн библиотека

Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №40 - открытая онлайн библиотека (П1.4)

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №41 - открытая онлайн библиотека (П1.5)

Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №42 - открытая онлайн библиотека , (П1.6)

где Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №43 - открытая онлайн библиотека - простые корни функции Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения - №44 - открытая онлайн библиотека

Задача П1.2. Обоснуйте приведенные формулы (П1.4)- (П1.6).