Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.
В комплексном конечномерном пространстве размерности
скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):
В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичное определение имеет вид:
Наконец, если и
- комплексные функции из пространства
, то их скалярное произведение есть:
Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:
Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства .
Предположим вначале, что скалярное произведение - действительное число.
Пусть - действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от
(эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).
В обозначениях Дирака имеем:
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е. .
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство Коши- Буняковского:
Предположим теперь, что - комплексное число. Пусть
, где
и
- действительные числа.
Введем функцию, отличающуюся от только фазой
Тогда является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:
Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому: ,
.
Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:
Введем величину , называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний
и
.
Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:
Из неравенства Коши- Буняковского следует, что
Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины
заключается в том, что она задает вероятность обнаружения квантовой системы в состоянии
при условии, что она была приготовлена в состоянии
Обмен информацией в природе предполагает, что состояние , приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда
(с точностью до фазового множителя). В этом случае
. В действительности состояния
и
, на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и
. В рассматриваемом случае, таким образом,
задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.