Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация

Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.

В комплексном конечномерном пространстве Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №1 - открытая онлайн библиотека размерности Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №2 - открытая онлайн библиотека скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №3 - открытая онлайн библиотека

В бесконечномерном гильбертовом пространстве Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №4 - открытая онлайн библиотека аналогичное определение имеет вид:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №5 - открытая онлайн библиотека

Наконец, если Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №6 - открытая онлайн библиотека и Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №7 - открытая онлайн библиотека - комплексные функции из пространства Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №8 - открытая онлайн библиотека , то их скалярное произведение есть:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №9 - открытая онлайн библиотека

Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №10 - открытая онлайн библиотека

Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №8 - открытая онлайн библиотека .

Предположим вначале, что скалярное произведение Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №12 - открытая онлайн библиотека - действительное число.

Пусть Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №13 - открытая онлайн библиотека - действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №13 - открытая онлайн библиотека (эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №15 - открытая онлайн библиотека

В обозначениях Дирака имеем:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №16 - открытая онлайн библиотека

В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №17 - открытая онлайн библиотека

Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №18 - открытая онлайн библиотека .

Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №19 - открытая онлайн библиотека

Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство Коши- Буняковского:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №20 - открытая онлайн библиотека

Предположим теперь, что Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №12 - открытая онлайн библиотека - комплексное число. Пусть Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №22 - открытая онлайн библиотека , где Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №23 - открытая онлайн библиотека и Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №24 - открытая онлайн библиотека - действительные числа.

Введем функцию, отличающуюся от Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №7 - открытая онлайн библиотека только фазой

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №26 - открытая онлайн библиотека

Тогда Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №27 - открытая онлайн библиотека является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №28 - открытая онлайн библиотека

Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому: Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №29 - открытая онлайн библиотека , Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №30 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №10 - открытая онлайн библиотека

Введем величину Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №32 - открытая онлайн библиотека , называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №7 - открытая онлайн библиотека и Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №6 - открытая онлайн библиотека .

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №35 - открытая онлайн библиотека

Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №36 - открытая онлайн библиотека

Из неравенства Коши- Буняковского следует, что

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №37 - открытая онлайн библиотека

Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №32 - открытая онлайн библиотека задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №32 - открытая онлайн библиотека заключается в том, что она задает вероятность обнаружения квантовой системы в состоянии Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №7 - открытая онлайн библиотека при условии, что она была приготовлена в состоянии Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №6 - открытая онлайн библиотека

Обмен информацией в природе предполагает, что состояние Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №6 - открытая онлайн библиотека , приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №43 - открытая онлайн библиотека (с точностью до фазового множителя). В этом случае Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №44 - открытая онлайн библиотека . В действительности состояния Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №6 - открытая онлайн библиотека и Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №7 - открытая онлайн библиотека , на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №47 - открытая онлайн библиотека . В рассматриваемом случае, таким образом, Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация - №32 - открытая онлайн библиотека задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.