Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.
В комплексном конечномерном пространстве 
размерности 
скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):
В бесконечномерном гильбертовом пространстве 
аналогичное определение имеет вид:
Наконец, если 
и 
- комплексные функции из пространства 
, то их скалярное произведение есть:
Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:
Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства .
Предположим вначале, что скалярное произведение 
- действительное число.
Пусть 
- действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от (эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).
В обозначениях Дирака имеем:
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е. 
.
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство Коши- Буняковского:
Предположим теперь, что - комплексное число. Пусть 
, где 
и 
- действительные числа.
Введем функцию, отличающуюся от только фазой
Тогда 
является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:
Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому: 
, 
.
Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:
Введем величину 
, называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний и .
Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:
Из неравенства Коши- Буняковского следует, что
Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины заключается в том, что она задает вероятность обнаружения квантовой системы в состоянии при условии, что она была приготовлена в состоянии
Обмен информацией в природе предполагает, что состояние , приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда 
(с точностью до фазового множителя). В этом случае 
. В действительности состояния и , на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и 
. В рассматриваемом случае, таким образом, задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.