Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона

Неравенство, предложенное Шредингером и Робертсоном, отражает в себе свойства, присущие как неравенству Коши- Буняковского, так и соотношению неопределенностей Гейзенберга и, в известном смысле, может считаться их обобщением [35,36].

Пусть Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №1 - открытая онлайн библиотека и Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №2 - открытая онлайн библиотека - две произвольные наблюдаемые. Без ограничения общности будем считать их центрированными: Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №3 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №4 - открытая онлайн библиотека

Здесь Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №5 - открытая онлайн библиотека - произвольное действительное число, Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №6 - открытая онлайн библиотека - тоже действительное, но фиксированное число (фаза, выбор которой мы осуществим позднее).

Определим ковариацию величин как

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №7 - открытая онлайн библиотека

Заметим, что симметризация произведения наблюдаемых потребовалась нам, чтобы сделать соответствующий оператор эрмитовым.

Пусть:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №8 - открытая онлайн библиотека ,

где Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №9 - открытая онлайн библиотека - эрмитов оператор. Тогда:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №10 - открытая онлайн библиотека

В развернутой записи выражение для Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №11 - открытая онлайн библиотека имеет вид:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №12 - открытая онлайн библиотека

Пусть:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №13 - открытая онлайн библиотека ,

Очевидно, можно найти такой угол Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №14 - открытая онлайн библиотека , чтобы выполнялись тождества:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №15 - открытая онлайн библиотека

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №16 - открытая онлайн библиотека

Тогда:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №17 - открытая онлайн библиотека

Распорядимся произволом в выборе фазы Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №6 - открытая онлайн библиотека , чтобы обеспечить выполнение равенства Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №19 - открытая онлайн библиотека . Указанный выбор, очевидно, обеспечит получение наиболее сильного неравенства:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №20 - открытая онлайн библиотека

Определим коэффициент корреляции между наблюдаемыми Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №1 - открытая онлайн библиотека и Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №2 - открытая онлайн библиотека как:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №23 - открытая онлайн библиотека

В результате, искомое неравенство (соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона) примет вид:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №24 - открытая онлайн библиотека ,

где Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №25 - открытая онлайн библиотека

Введенный параметр Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №26 - открытая онлайн библиотека есть аналог известного числа Шмидта [37]. Это число имеет фундаментальное значение для описания квантовых корреляций и квантовой информации (см. Приложение к Главе 3).

Пусть теперь рассматриваемые наблюдаемые есть операторы координаты и импульса соответственно:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №27 - открытая онлайн библиотека , Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №28 - открытая онлайн библиотека .

Тогда, в силу фундаментального перестановочного соотношения для координаты и импульса, Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №9 - открытая онлайн библиотека есть тождественный оператор (единичная матрица).

В этом случае соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона будет иметь вид:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №30 - открытая онлайн библиотека

Пусть Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №31 - открытая онлайн библиотека , Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №32 - открытая онлайн библиотека - неопределенности (стандартные отклонения) для координаты и импульса. Тогда:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №33 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, если координата и импульс коррелируют друг с другом, произведение их неопределенностей возрастает в Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №34 - открытая онлайн библиотека раз по сравнению с величиной, определяемой неравенством Гейзенберга.

Заметим, что в силу некоммутативности координаты и импульса, их квантовая ковариация не может быть оценена по выборке подобно классической ковариации. Для вычисления соответствующей оценки нужно знать априори (или оценить по результатам взаимно- дополнительных измерений) вектор состояния (волновую функцию). Пусть:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №35 - открытая онлайн библиотека ,

где действительные функции Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №36 - открытая онлайн библиотека и Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №37 - открытая онлайн библиотека есть соответственно плотность и фаза пси- функции. Заметим, что фаза Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №37 - открытая онлайн библиотека есть аналог классического действия механической системы.

Используя функции плотности и фазы, нетрудно получить следующее простое представление для ковариации координаты и импульса:

Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №39 - открытая онлайн библиотека

Наглядность полученного результата обусловлена тем, что в классической механике производная от функции действия Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона - №40 - открытая онлайн библиотека есть импульс.