Многомерное соотношение неопределенностей

Рассмотрим пространство размерности Многомерное соотношение неопределенностей - №1 - открытая онлайн библиотека .

Пусть Многомерное соотношение неопределенностей - №2 - открытая онлайн библиотека - соответствующие операторы координат и импульсов.

Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен одномерному, но теперь вместо действительного числа Многомерное соотношение неопределенностей - №3 - открытая онлайн библиотека следует ввести действительную симметричную матрицу Многомерное соотношение неопределенностей - №4 - открытая онлайн библиотека с элементами Многомерное соотношение неопределенностей - №5 - открытая онлайн библиотека . Такое видоизменение диктуется необходимостью придать рассматриваемым величинам геометрически инвариантный вид в гильбертовом пространстве. Действительно для скалярного Многомерное соотношение неопределенностей - №3 - открытая онлайн библиотека , такая величина как Многомерное соотношение неопределенностей - №7 - открытая онлайн библиотека неинвариантна, потому что индексы Многомерное соотношение неопределенностей - №8 - открытая онлайн библиотека и Многомерное соотношение неопределенностей - №9 - открытая онлайн библиотека , вообще говоря, различны. В то же время, для матрицы Многомерное соотношение неопределенностей - №4 - открытая онлайн библиотека величина Многомерное соотношение неопределенностей - №11 - открытая онлайн библиотека будет кет- вектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу Многомерное соотношение неопределенностей - №8 - открытая онлайн библиотека предполагается суммирование). Введем также действительный вектор Многомерное соотношение неопределенностей - №13 - открытая онлайн библиотека ( Многомерное соотношение неопределенностей - №14 - открытая онлайн библиотека ). С его помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем полученный кет- вектор в скаляр: Многомерное соотношение неопределенностей - №15 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим теперь следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):

Многомерное соотношение неопределенностей - №16 - открытая онлайн библиотека

В развернутом виде получим:

Многомерное соотношение неопределенностей - №17 - открытая онлайн библиотека

Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену индексов Многомерное соотношение неопределенностей - №18 - открытая онлайн библиотека и Многомерное соотношение неопределенностей - №9 - открытая онлайн библиотека друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.

В качестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).

В результате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:

Многомерное соотношение неопределенностей - №20 - открытая онлайн библиотека

Напомним, что матрица Многомерное соотношение неопределенностей - №21 - открытая онлайн библиотека с элементами Многомерное соотношение неопределенностей - №22 - открытая онлайн библиотека называется неотрицательно определенной, если для любого вектора Многомерное соотношение неопределенностей - №23 - открытая онлайн библиотека :

Многомерное соотношение неопределенностей - №24 - открытая онлайн библиотека

В полученном неравенстве мы ввели матрицы ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц определяются выражениями

Многомерное соотношение неопределенностей - №25 - открытая онлайн библиотека

Многомерное соотношение неопределенностей - №26 - открытая онлайн библиотека

Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.

Напомним, что произвольная эрмитова матрица Многомерное соотношение неопределенностей - №21 - открытая онлайн библиотека может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:

Многомерное соотношение неопределенностей - №28 - открытая онлайн библиотека ,

где Многомерное соотношение неопределенностей - №29 - открытая онлайн библиотека - унитарная матрица, а Многомерное соотношение неопределенностей - №30 - открытая онлайн библиотека - действительная диагональная матрица.

Если, к тому же, матрица Многомерное соотношение неопределенностей - №21 - открытая онлайн библиотека неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения, образующие диагональ матрицы Многомерное соотношение неопределенностей - №30 - открытая онлайн библиотека . В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:

Многомерное соотношение неопределенностей - №33 - открытая онлайн библиотека

С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:

Многомерное соотношение неопределенностей - №34 - открытая онлайн библиотека

Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль при Многомерное соотношение неопределенностей - №35 - открытая онлайн библиотека ). Отсюда следует, что и выражение Многомерное соотношение неопределенностей - №36 - открытая онлайн библиотека неотрицательно определено, т.е.

Многомерное соотношение неопределенностей - №37 - открытая онлайн библиотека

Полученное неравенство и есть искомое многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое состояние, матрица, равная разности Многомерное соотношение неопределенностей - №38 - открытая онлайн библиотека между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.

Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при Многомерное соотношение неопределенностей - №39 - открытая онлайн библиотека :

Многомерное соотношение неопределенностей - №40 - открытая онлайн библиотека

Отсюда получаем, что соответствующее состояние является гауссовским с матрицей ковариаций Многомерное соотношение неопределенностей - №41 - открытая онлайн библиотека в импульсном представлении и матрицей ковариаций Многомерное соотношение неопределенностей - №42 - открытая онлайн библиотека - в координатном.

Мы ограничились рассмотрением многомерного соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения Шредингера- Робертсона можно найти в [35,36]

Информация Фишера

Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна: Многомерное соотношение неопределенностей - №43 - открытая онлайн библиотека . Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:

Многомерное соотношение неопределенностей - №44 - открытая онлайн библиотека

Здесь штрих означает производную по Многомерное соотношение неопределенностей - №45 - открытая онлайн библиотека .

Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:

Многомерное соотношение неопределенностей - №46 - открытая онлайн библиотека

Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:

Многомерное соотношение неопределенностей - №47 - открытая онлайн библиотека

Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе

Неравенство Рао- Крамера

Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния. Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра Многомерное соотношение неопределенностей - №48 - открытая онлайн библиотека , т.е.:

Многомерное соотношение неопределенностей - №49 - открытая онлайн библиотека .

Пусть Многомерное соотношение неопределенностей - №50 - открытая онлайн библиотека есть несмещенная оценка неизвестного параметра Многомерное соотношение неопределенностей - №48 - открытая онлайн библиотека , основанная на выборке объема Многомерное соотношение неопределенностей - №52 - открытая онлайн библиотека в координатном пространстве, т.е. Многомерное соотношение неопределенностей - №53 - открытая онлайн библиотека .

Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки Многомерное соотношение неопределенностей - №50 - открытая онлайн библиотека совпадает с истинным значением параметра Многомерное соотношение неопределенностей - №48 - открытая онлайн библиотека , т.е.

Многомерное соотношение неопределенностей - №56 - открытая онлайн библиотека

Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:

Многомерное соотношение неопределенностей - №57 - открытая онлайн библиотека

Многомерное соотношение неопределенностей - №58 - открытая онлайн библиотека

Пусть Многомерное соотношение неопределенностей - №59 - открытая онлайн библиотека - оператор, канонически сопряженный параметру Многомерное соотношение неопределенностей - №48 - открытая онлайн библиотека .

Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:

Многомерное соотношение неопределенностей - №61 - открытая онлайн библиотека

Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:

Многомерное соотношение неопределенностей - №62 - открытая онлайн библиотека

Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением

Многомерное соотношение неопределенностей - №63 - открытая онлайн библиотека

Проведем подробные вычисления. Пусть Многомерное соотношение неопределенностей - №64 - открытая онлайн библиотека - кет вектор, где Многомерное соотношение неопределенностей - №65 - открытая онлайн библиотека , как и ранее, произвольный действительный параметр, Многомерное соотношение неопределенностей - №66 - открытая онлайн библиотека - соответствующий бра- вектор.

Заведомо неотрицательное выражение есть:

Многомерное соотношение неопределенностей - №67 - открытая онлайн библиотека

Здесь для сокращения записи мы полагаем, что Многомерное соотношение неопределенностей - №68 - открытая онлайн библиотека , Многомерное соотношение неопределенностей - №69 - открытая онлайн библиотека

В развернутой записи имеем:

Многомерное соотношение неопределенностей - №70 - открытая онлайн библиотека ,

где

Многомерное соотношение неопределенностей - №71 - открытая онлайн библиотека

Многомерное соотношение неопределенностей - №72 - открытая онлайн библиотека

Многомерное соотношение неопределенностей - №73 - открытая онлайн библиотека

Можно показать, что Многомерное соотношение неопределенностей - №74 - открытая онлайн библиотека . Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде

Многомерное соотношение неопределенностей - №75 - открытая онлайн библиотека

Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что Многомерное соотношение неопределенностей - №74 - открытая онлайн библиотека .

Из условия Многомерное соотношение неопределенностей - №77 - открытая онлайн библиотека для дискриминанта получаем искомый результат – неравенство Рао-Крамера [38- 40]:

Многомерное соотношение неопределенностей - №78 - открытая онлайн библиотека

Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.

В этом случае информация Фишера есть:

Многомерное соотношение неопределенностей - №79 - открытая онлайн библиотека

Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.

Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от Многомерное соотношение неопределенностей - №52 - открытая онлайн библиотека независимых представителей в Многомерное соотношение неопределенностей - №52 - открытая онлайн библиотека раз превосходит информацию от одного представителя).

Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера Многомерное соотношение неопределенностей - №82 - открытая онлайн библиотека минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.

Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них. Такие оценки называются эффективными.

Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:

Многомерное соотношение неопределенностей - №83 - открытая онлайн библиотека (2.1)

где Многомерное соотношение неопределенностей - №84 - открытая онлайн библиотека - смещение оценки. (2.2)

Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки Многомерное соотношение неопределенностей - №50 - открытая онлайн библиотека относительно истинного значения Многомерное соотношение неопределенностей - №48 - открытая онлайн библиотека .

Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.