От квантовой информатики к квантовой физике

В настоящем разделе мы покажем, что систематическое применение представленной выше парадигмы квантовой информатики к задачам механики ведет к преобразованию классической механики в механику квантовую [30,51,52].

Основной закон динамики Ньютона есть:

От квантовой информатики к квантовой физике - №1 - открытая онлайн библиотека

Для того, чтобы применить постулаты квантовой информатики, достаточно предположить, что фигурирующие в основном законе динамики ускорение и сила есть некоторые средние величины. Усреднение обеспечивается посредством введения некоторой плотности распределения От квантовой информатики к квантовой физике - №2 - открытая онлайн библиотека :

От квантовой информатики к квантовой физике - №3 - открытая онлайн библиотека (3.1)

Потребуем в соответствии с Постулатами 1 и 3, чтобы введенная плотность распределения допускала корневое разложение, естественное для квантовой информатики. Пусть всего имеется От квантовой информатики к квантовой физике - №4 - открытая онлайн библиотека компонент плотности, т.е.:

От квантовой информатики к квантовой физике - №5 - открытая онлайн библиотека , (3.2)

где каждая из компонент представлена в виде разложения:

От квантовой информатики к квантовой физике - №6 - открытая онлайн библиотека , От квантовой информатики к квантовой физике - №7 - открытая онлайн библиотека (3.3)

Предположим, что зависимость коэффициентов разложения от времени определяется гармоническими функциями:

От квантовой информатики к квантовой физике - №8 - открытая онлайн библиотека (3.4)

Базисные функции разложения и частоты заранее неизвестны. Их следует определить таким образом, чтобы выполнялись усредненные уравнения движения. Покажем, что модель, задаваемая уравнениями (3.1)- (3.4) приводит к стационарным функциям и частотам уравнения Шредингера.

Подставляя (3.2)-(3.4) в (3.1), получим:

От квантовой информатики к квантовой физике - №9 - открытая онлайн библиотека (3.5)

Здесь, как обычно, по повторяющимся индексам От квантовой информатики к квантовой физике - №10 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №11 - открытая онлайн библиотека предполагается суммирование.

Матричные элементы в выражении (3.5) определяются формулами:

От квантовой информатики к квантовой физике - №12 - открытая онлайн библиотека (3.6)

От квантовой информатики к квантовой физике - №13 - открытая онлайн библиотека (3.7)

Для того, чтобы соотношение (3.5) выполнялось в любой момент времени для произвольных начальных амплитуд, следует потребовать выполнения равенства левых и правых частей отдельно для каждого матричного элемента, поэтому:

От квантовой информатики к квантовой физике - №14 - открытая онлайн библиотека (3.8)

Последнее выражение представляет собой матричное уравнение Гейзенберга для квантовой динамики в энергетическом представлении. Базисные функции и частоты, удовлетворяющие соотношениям (3.8), есть стационарные состояния и частоты квантовой системы (в соответствии с эквивалентностью картин Гейзенберга и Шредингера).

Действительно, образуем диагональную матрицу из частот системы От квантовой информатики к квантовой физике - №15 - открытая онлайн библиотека . Рассматриваемая матрица будет эрмитовой в силу того, что частоты – действительные числа. Эта матрица будет представлением некоторого эрмитова оператора, собственные значения которого суть От квантовой информатики к квантовой физике - №16 - открытая онлайн библиотека , т.е.

От квантовой информатики к квантовой физике - №17 - открытая онлайн библиотека , (3.9)

Найдем явный вид искомого оператора частоты От квантовой информатики к квантовой физике - №18 - открытая онлайн библиотека . В силу (3.9), матричное соотношение (3.8) можно переписать в виде операторного уравнения

От квантовой информатики к квантовой физике - №19 - открытая онлайн библиотека , (3.10)

где От квантовой информатики к квантовой физике - №20 - открытая онлайн библиотека От квантовой информатики к квантовой физике - №21 - открытая онлайн библиотека - оператор дифференцирования, От квантовой информатики к квантовой физике - №22 - открытая онлайн библиотека - коммутатор.

Выражение, стоящее в правой части (3.10), представим в виде некоторого коммутатора:

От квантовой информатики к квантовой физике - №23 - открытая онлайн библиотека ,

где От квантовой информатики к квантовой физике - №24 - открытая онлайн библиотека – произвольная константа, которая, в итоге, должна быть отождествлена с постоянной Планка (см. обсуждение ниже).

Рассматриваемый коммутатор, очевидно, не изменится, если к потенциальной составляющей От квантовой информатики к квантовой физике - №25 - открытая онлайн библиотека добавить произвольную функцию от оператора производной От квантовой информатики к квантовой физике - №26 - открытая онлайн библиотека , т.е.

От квантовой информатики к квантовой физике - №27 - открытая онлайн библиотека

Аналогичным образом имеем:

От квантовой информатики к квантовой физике - №28 - открытая онлайн библиотека ,

где От квантовой информатики к квантовой физике - №29 - открытая онлайн библиотека - произвольная функция от координат.

Таким образом:

От квантовой информатики к квантовой физике - №30 - открытая онлайн библиотека

Последнее соотношение оказывается согласованным, если положить:

От квантовой информатики к квантовой физике - №31 - открытая онлайн библиотека , От квантовой информатики к квантовой физике - №32 - открытая онлайн библиотека

Окончательно находим, что решением уравнения (3.10) является оператор:

От квантовой информатики к квантовой физике - №33 - открытая онлайн библиотека (3.11)

Для того, чтобы слагаемые в (3.11) имели одинаковую размерность, произвольная константа От квантовой информатики к квантовой физике - №24 - открытая онлайн библиотека должна иметь размерность постоянной Планка (эрг*с). Численное значение этой постоянной должно быть выбрано таким, чтобы собственные значения оператора частоты От квантовой информатики к квантовой физике - №35 - открытая онлайн библиотека совпадали с реальными атомными частотами. Нетрудно видеть, что выбор численного значения постоянной Планка От квантовой информатики к квантовой физике - №24 - открытая онлайн библиотека связан с выбором единиц измерения для основных физических величин (длина, время, масса). С теоретической точки зрения единицы измерений можно выбрать так, чтобы было От квантовой информатики к квантовой физике - №37 - открытая онлайн библиотека (заметим, что в квантовой теории поля общеупотребительна система единиц, в которой От квантовой информатики к квантовой физике - №38 - открытая онлайн библиотека ).

Вместо оператора частоты От квантовой информатики к квантовой физике - №39 - открытая онлайн библиотека в квантовой теории принято использовать гамильтониан От квантовой информатики к квантовой физике - №40 - открытая онлайн библиотека .

От квантовой информатики к квантовой физике - №41 - открытая онлайн библиотека (3.12)

Собственные значения гамильтониана согласно (10) есть:

От квантовой информатики к квантовой физике - №42 - открытая онлайн библиотека (3.13)

Таким образом, если потребовать, чтобы корневая оценка плотности удовлетворяла в среднем классическим уравнениям движения, то базисные функции и частоты корневого разложения уже не могут быть произвольными, а должны представлять собой соответственно собственные функции и собственные значения гамильтониана системы.

Нетрудно видеть, что динамика амплитуд вероятности, возникающая при описанном выше подходе, является унитарной в полном соответствии с Постулатом 2.

Постулат 4 квантовой информатики в приложении к изучаемой задаче требует, чтобы многочастичная квантовая система рассматривалась в соответствующем многомерном конфигурационном пространстве (детали такого описания содержатся в общеизвестных руководствах по квантовой механике [55, 56]).

Описанный выше подход представляет собой определенную альтернативу процедуре канонического квантования Дирака, в основе которой лежат квантовые скобки Пуассона [48].

Рассмотрим теперь матрицу плотности, элементы которой определим формулой:

От квантовой информатики к квантовой физике - №43 - открытая онлайн библиотека (3.14)

На основе представленных выше результатов нетрудно получить уравнение для динамики матрицы плотности, называемое обычно квантовым уравнением Лиувилля:

От квантовой информатики к квантовой физике - №44 - открытая онлайн библиотека (3.15)

С использованием полученного выражения (3.12) для гамильтониана уже нетрудно получить операторные представления для других динамических величин. Например, понятие импульса можно ввести на основе следующей легко проверяемой цепочки равенств:

От квантовой информатики к квантовой физике - №45 - открытая онлайн библиотека , (3.16)

где матрица плотности смеси (3.14) в обозначениях Дирака есть:

От квантовой информатики к квантовой физике - №46 - открытая онлайн библиотека (3.17)

В выражении (3.16) суммирование по индексам От квантовой информатики к квантовой физике - №47 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №48 - открытая онлайн библиотека предполагается автоматически, сумма по компонентам смеси (индекс От квантовой информатики к квантовой физике - №49 - открытая онлайн библиотека ) выписана явно.

Первое из представленных в (3.16) равенств непосредственно следует из определения корневой оценки плотности, при получении второго равенства мы учли (3.13), наконец последние два равенства следуют из определения импульса (в нерелятивистской теории оператор импульса должен быть определен таким образом, чтобы его среднее значение совпадало с произведением массы на среднюю скорость).

Заметим, что в (3.17) компоненты смеси От квантовой информатики к квантовой физике - №50 - открытая онлайн библиотека нормированы таким образом, что От квантовой информатики к квантовой физике - №51 - открытая онлайн библиотека , где От квантовой информатики к квантовой физике - №52 - открытая онлайн библиотека - вес От квантовой информатики к квантовой физике - №53 - открытая онлайн библиотека - ой компоненты смеси.

Из соотношения (3.16) с необходимостью вытекает следующее определение импульса:

От квантовой информатики к квантовой физике - №54 - открытая онлайн библиотека

Заметим, что выражения для операторов наблюдаемых величин мы не постулируем (как это делают при стандартном изложении квантовой механики), а выводим как необходимые следствия корневых статистических оценок.

С использованием понятия матрицы плотности, как это следует из (3.16) среднее значение импульса есть:

От квантовой информатики к квантовой физике - №55 - открытая онлайн библиотека

Точно такая же формула имеет место для среднего значения любой другой наблюдаемой От квантовой информатики к квантовой физике - №56 - открытая онлайн библиотека

От квантовой информатики к квантовой физике - №57 - открытая онлайн библиотека

Соотношения, согласно которым, уравнения классической механики выполняются в среднем и для квантовых систем, называют уравнениями Эренфеста [57]. Самих этих уравнений, конечно, недостаточно для описания квантовой динамики. Как было показано выше, дополнительное условие, которое позволяет преобразовать классическую механику в квантовую (т.е. условие квантования), есть, по- существу, требование корневого характера плотности.

Шестая проблема Гильберта

В знаменитом докладе Д. Гильберта «Математические проблемы», прочитанном 8 августа 1900 г. в Париже на 2-ом Международном конгрессе математиков, были сформулированы задачи, оказавшие существенное влияние на развитие математики и связанных с ней наук в XX веке.

Всего Гильберт поставил 23 проблемы, из которых для нас наибольший интерес представляет 6-ая проблема, сформулированная как «математическое изложение аксиом физики».

«С исследованиями по основаниям геометрии», говорится в докладе, «близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика.

Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов» ([58] с.415).

Сегодня, по прошествии более ста лет с момента постановки задачи, можно сказать, что слова Гильберта, прозвучавшие на рубеже XIX и XX веков, были почти пророческими.

Примечательно, что математическая формулировка основ теории вероятностей связывается Гильбертом в единый конгломерат с наукой о микромире. В то время в роли таковой выступала молекулярно- кинетическая теория, основы которой были заложены Максвеллом и Больцманом. Заметим, что всего через несколько месяцев после Гильберта был прочитан еще один доклад, который положил начало новой (квантовой) эре. Этот доклад был прочитан М. Планком 14 декабря 1900 г. на заседании немецкого физического общества.

Гильберт в своем докладе говорит, что искомая аксиоматическая теория вероятностей должна быть построена по аналогии с геометрией. Геометрия гильбертова пространства, заложенная в работах Гильберта, Шмидта и других ученых, как раз, и есть, как мы видели, основа квантовой информатики.

Заметим также, что при построении физических аксиом по образцу аксиом геометрии, как считает Гильберт, «возможно возникнет принцип классификации, который сможет использовать глубокую теорию бесконечных групп преобразования Ли» ([58], с.416). Очевидно, что Гильберт оказался прав и в этом своем предсказании, поскольку важность групп Ли в современной квантовой теории хорошо известна.

Отметим, наконец, что в качестве важной задачи Гильберт видит математически строгое описание перехода от микромира к макромиру. Здесь, по мнению Гильберта, в основу может быть положена «книга Больцмана о принципах механики, в которой следовало бы строго математически обосновать и провести те изложенные в ней процессы предельного перехода, которые ведут от атомистического понимания к теории движения твердого тела» ([58] с.415). Несмотря на колоссальный прогресс, достигнутый в понимании микромира в XX столетии, вопрос математического обоснования соответствующего предельного перехода от описания микроявлений к описанию макромира все еще остается дискуссионным (см., например, [59]).

Постановка 6-ой проблемы Гильбертом не была просто гениальной догадкой одного выдающегося человека. Актуальность рассматриваемой задачи определялась состоянием науки на рубеже XIX и XX веков. Так, знаменитая H- теорема, направленная на механико- статистическое обоснование второго начала термодинамики, была сформулирована Больцманом еще в 1872 г. [60]. Эта работа вызвала жаркие многолетние дискуссии. С резкой критикой работы Больцмана выступили многие известные ученые, в том числе выдающийся математик и теоретик естествознания А. Пуанкаре. Проблема заключалась в том, что обратимость законов классической механики вступала в противоречие с необратимым характером второго начала термодинамики. Хотя с физической точки зрения ответы Больцмана на возражения против его теории были весьма убедительны, с принципиальной математической точки зрения вопрос оставался открытым. Любой симбиоз представлений классической механики и статистики неизбежно оказывался непоследовательным и внутренне противоречивым. Отметим, в то же время, что подход Больцмана к статистической термодинамике не был чисто классическим. В той же, посвященной H- теореме работе [60], Больцман за 28 лет до Планка использовал (в методических целях) представления о квантованном характере энергии. Как мы теперь понимаем, любые попытки объединения механики и статистики логически должны были вести к квантовым представлениям (пусть и в неявной форме, как у Больцмана). Таким образом, на рубеже XIX и XX столетий, Гильберту и другим ученым было ясно, что развитие механики, теории вероятностей и молекулярно- кинетической теории не могло далее проходить независимо. Прогресс науки настоятельно требовал объединения указанных разделов, однако такое объединение неизбежно оказывалось противоречивым. Формулируя свою знаменитую 6-ую проблему, Гильберт, вероятно, надеялся путем аксиоматизации снять имеющиеся трудности и получить единую универсальную непротиворечивую теорию. На роль такой теории, как мы видим сегодня, вполне может претендовать квантовая информатика.

Обсуждение

Рассмотрим коротко историю развития 6-ой проблемы Гильберта в XX веке.

Прежде всего, основываясь на своем тезисе о необходимости сочетания исследований по теории вероятностей с развитием кинетической теории газов, Гильберт применил свою теорию интегральных уравнений к кинетическому уравнению Больцмана. В рамках этих исследований Гильберту удалось найти эффективный способ приближенного решения кинетического уравнения [61]. Кинетическое уравнение Больцмана было для Гильберта примером такого уравнения, которое являлось интегральным по своей сути в том смысле, что не сводилось ни к каким дифференциальным уравнениям.

Возникновение квантовой механики, ознаменованное появлением 1925 г. работ В. Гейзенберга [62], Борна и Иордана [63], а также Гейзенберга, Борна и Иордана [64], побудило Гильберта заняться исследованием математических основ новой теории. Над этой задачей он работал совместно со своими ассистентами – фон Нейманом и Нордгеймом. Результаты исследований были опубликованы в работе [65], в которой авторы впервые попытались осмыслить принципы квантовой теории с математической точки зрения.

В свою очередь, сотрудничество с Гильбертом побудило фон Неймана к систематическим исследованиям по математическому обоснованию квантовой теории. Результатом работы, которая продолжалась несколько лет, стала книга [49]. Эта книга до сих пор считается основной среди работ, посвященных математическим аспектам квантовой механики. В своей монографии фон Нейман последовательно развил концепцию гильбертова пространства как арены, на которой развиваются квантовые события, ввел понятие матрицы плотности, развил теорию квантовых измерений, основанных на ортогональных разложениях единицы, провел исследование по обоснованию квантовой статистической механики.

Свое видение фундаментальных статистических основ квантовой механики фон Нейман попытался выразить в своей известной теореме о невозможности введения скрытых параметров в структуру квантовой теории. Эта теорема, по мнению фон Неймана, должна была обеспечить водораздел между квантовой и классической теориями статистики. Теорема о скрытых параметрах в течение долгого времени не вызывала никаких возражений, пока не была подвергнута жесткой критике со стороны Белла [66]. Позитивным итогом исследований Белла стали известные неравенства, носящие его имя. Эти неравенства показывают невозможность объяснения результатов статистических экспериментов над квантовыми объектами посредством концепции классического вероятностного пространства. С этой точки зрения неравенства Белла выражают в количественной форме то, что фон Нейман сформулировал в своей теореме на качественном уровне. Пример наиболее известного неравенства Белла будет рассмотрен в разделе 4.10.

Формальные математические инструменты, разработанные фон Нейманом, были существенно усовершенствованы и обобщены другими авторами. Так, в современной теории квантовых измерений рассматривают не только основанные на проекторах ортогональные разложения единицы, введенные фон Нейманом, но и общие разложения единицы. Соответствующие объекты называют положительными операторнозначными мерами (Positive Operator- Valued Measure - POVM). Техника POVM будет кратко описана в нижеследующем Приложении.

Современное изложение математических аспектов квантовой механики содержится в книгах А.С. Холево [36, 67, 68]. История аксиоматики классической теории вероятностей излагается в [69].

П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.

Пусть вектор состояния (амплитуда вероятности) составной системы От квантовой информатики к квантовой физике - №58 - открытая онлайн библиотека зависит от переменных двух подсистем. Оказывается, что вектор состояния составной системы может быть разложен по векторам, относящимся к отдельным подсистемам. Соответствующее представление называется разложением Шмидта [1,2,37]:

От квантовой информатики к квантовой физике - №59 - открытая онлайн библиотека (3.18)

Здесь От квантовой информатики к квантовой физике - №60 - открытая онлайн библиотека - весовые (заведомо неотрицательные) множители, удовлетворяющие условию нормировки

От квантовой информатики к квантовой физике - №61 - открытая онлайн библиотека

Мы предполагаем, что слагаемые в разложении (3.18) представлены в порядке убывания (невозрастания) коэффициентов От квантовой информатики к квантовой физике - №60 - открытая онлайн библиотека .

Разложение Шмидта дает наглядный математический аппарат для исследования запутанности. Например, регистрация подсистемы №1 наблюдателем От квантовой информатики к квантовой физике - №63 - открытая онлайн библиотека в состоянии От квантовой информатики к квантовой физике - №64 - открытая онлайн библиотека означает, что подсистема №2 с необходимостью будет зарегистрирована (наблюдателем От квантовой информатики к квантовой физике - №65 - открытая онлайн библиотека ) в состоянии От квантовой информатики к квантовой физике - №66 - открытая онлайн библиотека (при том же самом От квантовой информатики к квантовой физике - №67 - открытая онлайн библиотека ).

Функции (векторы) От квантовой информатики к квантовой физике - №64 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №66 - открытая онлайн библиотека называются модами Шмидта. Предположим, что каждая из подсистем описывается гильбертовым пространством размерности От квантовой информатики к квантовой физике - №70 - открытая онлайн библиотека . Тогда, каждый из наборов функций От квантовой информатики к квантовой физике - №64 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №66 - открытая онлайн библиотека ( От квантовой информатики к квантовой физике - №73 - открытая онлайн библиотека ) будет полным набором, образующим ортонормированный базис.

Опишем алгоритм численной экстракции мод Шмидта. Пусть От квантовой информатики к квантовой физике - №74 - открытая онлайн библиотека матрица размера От квантовой информатики к квантовой физике - №75 - открытая онлайн библиотека с элементами От квантовой информатики к квантовой физике - №76 - открытая онлайн библиотека , задающими амплитуду вероятности найти подсистемы в базисных состояниях От квантовой информатики к квантовой физике - №77 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №78 - открытая онлайн библиотека соответственно. Введем матрицу От квантовой информатики к квантовой физике - №79 - открытая онлайн библиотека следующего вида:

От квантовой информатики к квантовой физике - №80 - открытая онлайн библиотека (3.19)

Найдем собственные функции и собственные значения матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №79 - открытая онлайн библиотека . В результате, рассматриваемая матрица будет представлена в виде:

От квантовой информатики к квантовой физике - №82 - открытая онлайн библиотека , (3.20)

Здесь От квантовой информатики к квантовой физике - №83 - открытая онлайн библиотека - унитарная матрица, составленная из собственных векторов матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №79 - открытая онлайн библиотека (каждый столбец матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №83 - открытая онлайн библиотека есть некоторый собственный вектор матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №79 - открытая онлайн библиотека ). Матрица От квантовой информатики к квантовой физике - №87 - открытая онлайн библиотека есть диагональная матрица, составленная из собственных значений От квантовой информатики к квантовой физике - №60 - открытая онлайн библиотека матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №79 - открытая онлайн библиотека . Будем предполагать также, что От квантовой информатики к квантовой физике - №60 - открытая онлайн библиотека выстроены на диагонали в порядке убывания (невозрастания).

Диагональные элементы матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №87 - открытая онлайн библиотека есть искомые весовые множители От квантовой информатики к квантовой физике - №60 - открытая онлайн библиотека разложения Шмидта. При этом мода От квантовой информатики к квантовой физике - №64 - открытая онлайн библиотека дается От квантовой информатики к квантовой физике - №67 - открытая онлайн библиотека - ым столбцом матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №83 - открытая онлайн библиотека .

Для нахождения мод От квантовой информатики к квантовой физике - №66 - открытая онлайн библиотека введем матрицу От квантовой информатики к квантовой физике - №97 - открытая онлайн библиотека согласно формуле:

От квантовой информатики к квантовой физике - №98 - открытая онлайн библиотека (3.21)

В задачах высокой размерности матрица От квантовой информатики к квантовой физике - №87 - открытая онлайн библиотека , как правило, содержит элементы, практически равные нулю. Это может приводить к формальному делению на ноль при вычислении матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №100 - открытая онлайн библиотека . Для предотвращения этого явления можно поступить двумя практически эквивалентными способами. Можно вводить небольшие ненулевые слагаемые ( например, порядка От квантовой информатики к квантовой физике - №101 - открытая онлайн библиотека - От квантовой информатики к квантовой физике - №102 - открытая онлайн библиотека ) в диагональ От квантовой информатики к квантовой физике - №87 - открытая онлайн библиотека . Результаты фактически не зависят от уровня «малости» вводимых величин (они нужны только для того, чтобы избежать деления на машинный ноль). Те же результаты можно получить, если «урезать» размерность матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №87 - открытая онлайн библиотека , оставив в ней на диагонали только От квантовой информатики к квантовой физике - №105 - открытая онлайн библиотека заведомо ненулевых элементов От квантовой информатики к квантовой физике - №106 - открытая онлайн библиотека (при этом в матрице От квантовой информатики к квантовой физике - №83 - открытая онлайн библиотека также необходимо оставить только первые От квантовой информатики к квантовой физике - №105 - открытая онлайн библиотека столбцов).

Теперь для получения моды От квантовой информатики к квантовой физике - №66 - открытая онлайн библиотека остается только взять От квантовой информатики к квантовой физике - №67 - открытая онлайн библиотека - ую строку матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №97 - открытая онлайн библиотека .

С использованием матриц От квантовой информатики к квантовой физике - №83 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №97 - открытая онлайн библиотека матрица амплитуд вероятностей От квантовой информатики к квантовой физике - №74 - открытая онлайн библиотека может быть записана в виде:

От квантовой информатики к квантовой физике - №115 - открытая онлайн библиотека (3.22)

где От квантовой информатики к квантовой физике - №116 - открытая онлайн библиотека - диагональная матрица, неотрицательные диагональные элементы которой От квантовой информатики к квантовой физике - №117 - открытая онлайн библиотека расположены в порядке убывания (невозрастания). Разложение (3.22) есть сингулярное разложение матрицы (singular value decomposition, сокращенно- svd), а параметры От квантовой информатики к квантовой физике - №117 - открытая онлайн библиотека - сингулярные значения (singular values) матрицы.

Представленный алгоритм показывает, что определение мод Шмидта есть самосогласованная по переменным подсистем процедура. Так, каждый столбец матрицы От квантовой информатики к квантовой физике - №83 - открытая онлайн библиотека (каждая мода От квантовой информатики к квантовой физике - №64 - открытая онлайн библиотека ) определяется с точностью до независимого несущественного фазового множителя. Добавление такого множителя, однако, приведет, согласно (3.21), к согласованному изменению фазы моды От квантовой информатики к квантовой физике - №66 - открытая онлайн библиотека , запутанной с исходной модой.

Задача 3.1Явным расчетом покажите, что алгоритм, задаваемый формулами (3.19)- (3.22) действительно определяет разложение Шмидта (3.18) для составной системы.

Основная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта есть число Шмидта От квантовой информатики к квантовой физике - №122 - открытая онлайн библиотека , которое характеризует эффективное число мод в разложении:

От квантовой информатики к квантовой физике - №123 - открытая онлайн библиотека

По своему определению, в силу условия нормировки для От квантовой информатики к квантовой физике - №124 - открытая онлайн библиотека , число От квантовой информатики к квантовой физике - №122 - открытая онлайн библиотека заведомо не ниже единицы (и равно единице только в том случае, когда в разложении Шмидта имеется единственное ненулевое слагаемое). В случае систем, описываемых конечномерным вектором состояния, число От квантовой информатики к квантовой физике - №122 - открытая онлайн библиотека лежит в интервале От квантовой информатики к квантовой физике - №127 - открытая онлайн библиотека , где От квантовой информатики к квантовой физике - №128 - открытая онлайн библиотека - размерность гильбертова пространства квантовой подсистемы.

Наблюдатель От квантовой информатики к квантовой физике - №63 - открытая онлайн библиотека , для которого доступна подсистема №1 и недоступна подсистема №2, не имеет возможности восстановить вектор состояния полной системы. Он вынужден ограничиться описанием подсистемы №1 посредством матрицы плотности:

От квантовой информатики к квантовой физике - №130 - открытая онлайн библиотека

Аналогично, наблюдатель От квантовой информатики к квантовой физике - №65 - открытая онлайн библиотека , которому доступна только подсистема №2, имеет дело с матрицей плотности

От квантовой информатики к квантовой физике - №132 - открытая онлайн библиотека

Матрица плотности является инструментом неполного описания квантовых систем. Такое описание может быть искусственно домыслено (дополнено) до описания посредством вектора состояния. Например, наблюдатель От квантовой информатики к квантовой физике - №63 - открытая онлайн библиотека , не имея возможности установить действительную систему №2, с которой запутана его система №1, может рассмотреть некоторую другую вспомогательную систему №2’ и соответствующий ей базисный набор От квантовой информатики к квантовой физике - №134 - открытая онлайн библиотека . Вместо действительного вектора состояния составной системы От квантовой информатики к квантовой физике - №135 - открытая онлайн библиотека , такой наблюдатель будет рассматривать некоторое другое состояние От квантовой информатики к квантовой физике - №136 - открытая онлайн библиотека

От квантовой информатики к квантовой физике - №137 - открытая онлайн библиотека

Важно отметить, что в отношении описания отдельно взятой системы №1 векторы состояния От квантовой информатики к квантовой физике - №135 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №136 - открытая онлайн библиотека эквивалентны.

Унитарный оператор От квантовой информатики к квантовой физике - №140 - открытая онлайн библиотека , действующий на переменные подсистемы, задает следующее преобразование матрицы плотности (здесь и далее мы опускаем индекс №1, идентифицирующий рассматриваемую подсистему):

От квантовой информатики к квантовой физике - №141 - открытая онлайн библиотека

Для оператора От квантовой информатики к квантовой физике - №142 - открытая онлайн библиотека рассматриваемое преобразование эквивалентно квантовому уравнению Лиувилля (3.15) из раздела 3.2.

В формализме матрицы плотности принято рассматривать следующие обобщенные измерения над системой [36,67,68]. Предположим, что результатом измерения может быть один из От квантовой информатики к квантовой физике - №105 - открытая онлайн библиотека исходов: От квантовой информатики к квантовой физике - №144 - открытая онлайн библиотека . Вероятность исхода От квантовой информатики к квантовой физике - №145 - открытая онлайн библиотека дается формулой

От квантовой информатики к квантовой физике - №146 - открытая онлайн библиотека

Здесь От квантовой информатики к квантовой физике - №147 - открытая онлайн библиотека ( От квантовой информатики к квантовой физике - №144 - открытая онлайн библиотека ) набор эрмитовых операторов, образующих POVM (положительную операторнозначную меру).

По определению, операторы От квантовой информатики к квантовой физике - №147 - открытая онлайн библиотека неотрицательно определены:

От квантовой информатики к квантовой физике - №150 - открытая онлайн библиотека

Кроме того, предполагается, что рассматриваемые операторы задают разложение единицы

От квантовой информатики к квантовой физике - №151 - открытая онлайн библиотека ,

где От квантовой информатики к квантовой физике - №152 - открытая онлайн библиотека - тождественный оператор (единичная матрица).

В силу эрмитовости и неотрицательной определенности, каждый оператор От квантовой информатики к квантовой физике - №147 - открытая онлайн библиотека может быть представлен в виде:

От квантовой информатики к квантовой физике - №154 - открытая онлайн библиотека ,

где От квантовой информатики к квантовой физике - №155 - открытая онлайн библиотека ( От квантовой информатики к квантовой физике - №144 - открытая онлайн библиотека ) – некоторые операторы измерения.

Частным случаем операторов От квантовой информатики к квантовой физике - №147 - открытая онлайн библиотека являются хорошо известные в квантовой механике ортогональные проекторы.

Пусть, например, задан ортонормированный базис От квантовой информатики к квантовой физике - №158 - открытая онлайн библиотека . Каждому базисному вектору От квантовой информатики к квантовой физике - №159 - открытая онлайн библиотека можно сопоставить свой оператор проектирования:

От квантовой информатики к квантовой физике - №160 - открытая онлайн библиотека (3.23)

(по индексу От квантовой информатики к квантовой физике - №161 - открытая онлайн библиотека нет суммирования!)

Задача 3.2 Покажите, что введенные посредством (3.23) операторы, удовлетворяют характерным для операторов ортогонального проектирования условиям:

От квантовой информатики к квантовой физике - №162 - открытая онлайн библиотека От квантовой информатики к квантовой физике - №163 - открытая онлайн библиотека

Задача 3.3 Покажите, что введенные операторы проектирования задают ортогональное разложение единицы, т.е. выполняется условие:

От квантовой информатики к квантовой физике - №164 - открытая онлайн библиотека

Глава 4. Основные логические элементы квантовой информатики и их свойства

Лучше скажи мало, но хорошо.

(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №4).

В настоящей главе мы увидим, что в основе логической структуры квантовой информатики лежат квантовые биты (кубиты), а также преобразования, проводимые над отдельными кубитами и регистрами из кубитов. В разделе 4.1 даётся определение и подробно описываются свойства кубитов, включая представление их состояний на сфере Блоха. В разделе 4.2 показано, что любое заданное состояние кубита может быть реализовано посредством определённого унитарного преобразования. В разделе 4.3 рассмотрено понятие системы кубитов и представлено важное явление квантовой запутанности, являющейся основным ресурсом квантовых информационных технологий. Измерение кубитов, приводящее к необратимому изменению (редукции) их состояния, кратко рассмотрено в разделе 4.4. В разделе 4.5 рассмотрены простейшие квантовые логические элементы, лежащие в основе квантовых информационных технологий. Ещё один важный элемент такого рода, связанный с преобразованием Уолша- Адамара, рассмотрен в разделе 4.6. В разделе 4.7 рассмотрена важная теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, задающая радикальное отличие квантовых информационных процессов по сравнению с классическими. В разделе 4.8 рассмотрены так называемые состояния Белла, задающие максимально запутанные двухкубитовые квантовые состояния. Состояния Белла используются в разделе 4.9 для демонстрации важного квантово-информационного эффекта, связанного с именами Эйнштейна, Подольского и Розена. В разделе 4.10 рассмотрено важное неравенство Белла и описан факт его нарушения в квантовой механике. Нарушение неравенства Белла, подтвержденное в реальных физических экспериментах, доказывает невозможность сведения квантовых статистических закономерностей к классическим посредством введения каких-либо скрытых (латентных) распределений вероятностей для несовместимых наблюдаемых. Наконец, в разделе 4.11 на примере спинового магнитного резонанса рассмотрена одна из возможных моделей физической реализации кубита.

4.1 Квантовые биты

Квантовый бит или кубит (qubit) представляет собой двухуровневую квантовую систему [1-5]. Кубит описывается единичным вектором в двумерном комплексном векторном пространстве. Базис такого пространства задается всего двумя единичными ортогональными векторами, обозначаемыми соответственно От квантовой информатики к квантовой физике - №165 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №166 - открытая онлайн библиотека . Кубит может быть реализован в различных физических системах.

Приведем только некоторые примеры. Ортонормированный базис От квантовой информатики к квантовой физике - №167 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №166 - открытая онлайн библиотека может соответствовать поляризациям фотонов (вертикальной От квантовой информатики к квантовой физике - №169 - открытая онлайн библиотека и горизонтальной От квантовой информатики к квантовой физике - №170 - открытая онлайн библиотека ), а также любым другим взаимно ортогональным поляризациям, например От квантовой информатики к квантовой физике - №171 - открытая онлайн библиотека От квантовой информатики к квантовой физике - №172 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №173 - открытая онлайн библиотека (здесь в скобках указан угол между поляризацией фотона и горизонталью).

Базисные состояния кубита могут отвечать состояниям электрона со спином, направленным вверх (spin-up) и вниз (spin-down), в качестве От квантовой информатики к квантовой физике - №167 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №166 - открытая онлайн библиотека могут выступать основное и возбужденное состояния так называемого двухуровневого атома (модель двухуровневого атома предполагает, что за счет специального резонансного выбора частоты лазера накачки, в атоме эффективно оказываются задействованными только два определенные энергетические состояния).

Квантовые состояния От квантовой информатики к квантовой физике - №167 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №166 - открытая онлайн библиотека , конечно, могут использоваться для записи значений 0 и 1 классического бита информации. Однако, возможности квантового описания информации гораздо шире. В отличие от классического бита, квантовый бит (кубит) может быть представлен суперпозицией базисных векторов От квантовой информатики к квантовой физике - №167 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №166 - открытая онлайн библиотека в виде:

От квантовой информатики к квантовой физике - №180 - открытая онлайн библиотека ,

где От квантовой информатики к квантовой физике - №181 - открытая онлайн библиотека и От квантовой информатики к квантовой физике - №182 - открытая онлайн библиотека комплексные числа, такие что От квантовой информатики к квантовой физике - №183 - открытая онлайн библиотека .

Если над кубитом производится измерение в базисе От квантовой информатики к квантовой физике - №184 - открытая онлайн библиотека , то с вероятностью От квантовой информатики к квантовой физике - №185 - открытая онлайн библиотека кубит окажется в состоянии От квантовой информатики к квантовой физике - №167 - открытая онлайн библиотека , а с вероятностью От квантовой информатики к квантовой физике - №187 - открытая онлайн библиотека в состоянии От квантовой информатики к квантовой физике - №166 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим подробнее математическую модель кубита. Исторически приведенное ниже описание впервые применялось для рассмотрения поляризационных состояний частиц со спином ½ (электронов, протонов, нейтронов, определенных атомов и др.). Представленный формализм, однако, оказывается пригодным и для описания кубитов произвольной физической природы.

Пусть вектор состояния спина- кубита есть:

От квантовой информатики к квантовой физике - №189 - открытая онлайн библиотека

Для описания математической модели кубита нам потребуются основные сведения из теории спина. Как известно [55,56], оператор спина есть:

От квантовой информатики к квантовой физике - №190 - открытая онлайн библиотека ,

где введены матрицы Паули, которые в стандартном представлении задаются следующими формулами:

Рекомендуемые статьи

Постулаты квантовой информатики

Водородоподобная система в квантовой механике. Состояние микрочастицы описывается в квантовой ме­ханике волновой функцией ψ

Глава 2. О синхронии и квантовой физике

Комплексные числа в квантовой физике

Кл Тесты по квантовой физике. Фотон. Фотоэффект

Сознание в буддизме и в квантовой физике

Глава 2. О синхронии и квантовой физике