Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота

Любое состояние кубита может быть получено из состояния Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №1 - открытая онлайн библиотека посредством некоторого унитарного преобразования. Состоянию Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №2 - открытая онлайн библиотека на сфере Блоха соответствует «северный» полюс. Нетрудно видеть, что для того, чтобы из «северного» полюса попасть в точку Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №3 - открытая онлайн библиотека на сфере Блоха нужно совершить поворот на угол Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №4 - открытая онлайн библиотека относительно оси Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №5 - открытая онлайн библиотека , лежащей в плоскости Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №6 - открытая онлайн библиотека .

Введем следующий унитарный оператор:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №7 - открытая онлайн библиотека (4.4)

Задача4.6 Докажите справедливость представленного тождества путем разложения матричной экспоненты в ряд.

Оказывается, что оператор Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №8 - открытая онлайн библиотека осуществляет поворот исходного блоховского состояния относительно оси Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №9 - открытая онлайн библиотека на угол Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №10 - открытая онлайн библиотека , что иллюстрируется следующей задачей.

Задача 4.7 Пусть исходное состояние есть Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №2 - открытая онлайн библиотека . Подействуйте на него оператором Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №8 - открытая онлайн библиотека , где Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №13 - открытая онлайн библиотека . Покажите, что в результате получится следующее состояние кубита, отвечающее точке Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №3 - открытая онлайн библиотека на сфере Блоха:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №15 - открытая онлайн библиотека

Заметим, что представленная запись для состояния кубита на сфере Блоха отличается от формулы (4.3) раздела 4.1 только несущественным фазовым множителем.

Система кубитов

Анализ системы кубитов, состоящей более чем из одного кубита, позволяет выяснить природу преимущества квантовых вычислений по сравнению с классическими.

В классической физике, возможные состояния системы Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №16 - открытая онлайн библиотека частиц, индивидуальные состояния каждой из которых описываются вектором в двумерном векторном пространстве, образуют векторное пространство, содержащее Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №17 - открытая онлайн библиотека измерений. В то же время, для квантовых систем соответствующее результирующее пространство имеет гораздо большую размерность, а именно Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №18 - открытая онлайн библиотека . Это обуславливает экспоненциальный рост размерности пространства состояний с увеличением числа частиц, что, в свою очередь, лежит в основе возможного радикального увеличения скорости вычислений квантового компьютера по сравнению с классическим. С математической точки зрения отличие квантовых систем от классических заключается в том, что в классической физике пространство состояний образуется посредством операции декартового произведения, в то время как в квантовой – посредством тензорного произведения.

Проиллюстрируем особенности квантовых систем на примере регистра из 3 кубитов. Базис такой системы состоит из Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №19 - открытая онлайн библиотека векторов:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №20 - открытая онлайн библиотека

Например, запись Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №21 - открытая онлайн библиотека означает тензорное произведение Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №22 - открытая онлайн библиотека . В стандартном представлении Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №23 - открытая онлайн библиотека , Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №24 - открытая онлайн библиотека , поэтому:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №25 - открытая онлайн библиотека , Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №26 - открытая онлайн библиотека ,…, Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №27 - открытая онлайн библиотека

Число, стоящее в скобках Дирака, задает номер базисного квантового состояния в двоичном представлении. Например: Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №28 - открытая онлайн библиотека и Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №29 - открытая онлайн библиотека есть различная записи одного и того же базисного состояния.

Задача 4.8 Основываясь на определении тензорного (кронекеровского) произведения матриц, докажите следующее тождество:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №30 - открытая онлайн библиотека

Здесь считается, что оператор Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №31 - открытая онлайн библиотека и состояние Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №32 - открытая онлайн библиотека заданы в гильбертовом пространстве первой частицы, а оператор Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №33 - открытая онлайн библиотека и состояние Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №34 - открытая онлайн библиотека - в гильбертовом пространстве второй частицы. Указанное тождество показывает, что в составной системе действие оператора Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №35 - открытая онлайн библиотека на двухчастичное состояние Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №36 - открытая онлайн библиотека сводится к тензорному произведению двух векторов Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №37 - открытая онлайн библиотека , первый из которых описывает действие оператора Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №31 - открытая онлайн библиотека на первую частицу, а второй - действие оператора Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №33 - открытая онлайн библиотека на вторую частицу.

Неожиданным с точки зрения обычной интуиции является то, что состояние системы не всегда описывается в терминах состояния отдельных ее частей. Например, такое состояние из двух кубитов как Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №40 - открытая онлайн библиотека не может быть разложено отдельно на состояния каждого из двух кубитов. Другими словами, мы не можем найти такие Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №41 - открытая онлайн библиотека , которые обеспечивали бы выполнение следующего равенства:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №42 - открытая онлайн библиотека

Действительно:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №43 - открытая онлайн библиотека

Отсюда следует, что Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №44 - открытая онлайн библиотека , поэтому либо Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №45 - открытая онлайн библиотека , либо Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №46 - открытая онлайн библиотека , что невозможно.

Состояния системы, которые не могут быть представлены в виде произведения состояний ее частей, как уже указывалось ранее, называются запутанными (entangled) состояниями.

В соответствии с постулатами квантовой информатики полное описание каждого кубита в отдельности задается соответствующими однокубитовыми векторами состояний. Исходное состояние системы независимо приготовленных кубитов задается тензорным произведением однокубитовых состояний. При включении взаимодействия между кубитами возникают квантовые корреляции. В результате, совместное состояние регистра кубитов перестает быть сепарабельным, т.е. становится запутанным.

Запутанные состояния соответствуют ситуациям, которые не имеют классических аналогов и за которыми не стоит интуиция, подкрепленная наглядными механическими образами. Заметим, что такие состояния как раз и обеспечивают экспоненциальный рост размерности гильбертова пространства состояний в зависимости от числа кубитов.

Измерение кубитов

Измерение в квантовой системе, состоящей из одного или более кубитов, есть результат проектирования состояния системы до измерения в гильбертово подпространство, совместимое с измеренными значениями. При измерении, как уже отмечалось выше в главе 3, происходит редукция состояния. Амплитуда вероятности проекции, полученной в результате редукции, пересчитывается таким образом, чтобы снова быть нормированной на единицу.

В силу Постулата 3 (раздел 3.1), вероятность того, что результат измерения примет заданное значение, есть сумма квадратов модулей амплитуд вероятности всех компонент, совместимых с результатом измерения.

Рассмотрим для примера измерения в системе из двух кубитов. Вектор состояния такой системы в общем случае есть:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №47 - открытая онлайн библиотека

Здесь Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №48 - открытая онлайн библиотека - произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условию нормировки:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №49 - открытая онлайн библиотека

Пусть измеряется первый кубит. Вероятность обнаружить его в состоянии Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №50 - открытая онлайн библиотека есть Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №51 - открытая онлайн библиотека , а в состоянии Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №52 - открытая онлайн библиотека соответственно Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №53 - открытая онлайн библиотека . Если измерение первого кубита дало Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №50 - открытая онлайн библиотека , то редуцированное состояние окажется пропорциональным вектору Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №55 - открытая онлайн библиотека . После нормировки получим окончательно для состояния после рассматриваемого измерения:

Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №56 - открытая онлайн библиотека

Измерения запутанных и незапутанных состояний принципиально отличаются друг от друга. С точки зрения концепции измерений, кубиты оказываются незапутанными, если измерение одного из них никак не влияет на состояние другого и, напротив, кубиты обязательно будут запутаны, если такое влияние существует.

Рассмотрим, например, состояние Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №57 - открытая онлайн библиотека , которое не является запутанным, т.к. может быть представлено в виде тензорного произведения отдельных кубитов Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №58 - открытая онлайн библиотека . Здесь, очевидно, измерение первого кубита никак не влияет на состояние второго и наоборот.

Рассмотрим, напротив, состояние Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №59 - открытая онлайн библиотека , которое является запутанным. Теперь, результат измерения одного из кубитов влияет на то, какое состояние возникнет у второго кубита. Так, если первый кубит окажется в состоянии Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №50 - открытая онлайн библиотека , то и второй автоматически окажется в состоянии Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №50 - открытая онлайн библиотека , если же в результате измерения первого кубита будет получено состояние Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №52 - открытая онлайн библиотека , то и второй кубит обязательно будет обнаружен в состоянии Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота - №52 - открытая онлайн библиотека . Рассматриваемое состояние является одним из так называемых состояний Белла. Подробнее свойства таких состояний будут описаны в разделах 4.8- 4.10