Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс

Мы рассмотрим физическую реализацию кубита на примере квантовой системы со спиновым магнитным резонансом.

На основе уравнения Дирака можно показать, что наличие спина у электрона приводит к появлению у него магнитного момента. Соответствующий гамильтониан взаимодействия магнитного момента Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №1 - открытая онлайн библиотека с магнитным полем Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №2 - открытая онлайн библиотека есть:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №3 - открытая онлайн библиотека , где Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №4 - открытая онлайн библиотека

Пусть магнитное поле Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №2 - открытая онлайн библиотека есть комбинация однородного поля Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №6 - открытая онлайн библиотека , направленного вдоль оси Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №7 - открытая онлайн библиотека и поля Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №8 - открытая онлайн библиотека , вращающегося в плоскости Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №9 - открытая онлайн библиотека :

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №10 - открытая онлайн библиотека

Для определенности будем иметь ввиду электрон. С учетом отрицательного знака заряда электрона, имеем:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №11 - открытая онлайн библиотека , где Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №12 - открытая онлайн библиотека

Уравнение Паули, представляющее собой модификацию уравнения Шредингера с учетом спина электрона, есть:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №13 - открытая онлайн библиотека ,

где Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №14 - открытая онлайн библиотека - двухкомнонетнный спинор.

Пусть Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №15 - открытая онлайн библиотека , Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №16 - открытая онлайн библиотека - соответственно продольная и поперечная частоты.

Тогда уравнение Паули примет вид:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №17 - открытая онлайн библиотека ,

где Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №18 - открытая онлайн библиотека - оператор частоты.

Осуществим переход к другим (медленным) переменным посредством преобразования

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №19 - открытая онлайн библиотека

Рассматриваемое преобразование называется переходом во вращающуюся систему координат. Для новой переменной получим уравнение:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №20 - открытая онлайн библиотека

Учтем, что (см. формулу (4.4) раздела 4.2):

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №21 - открытая онлайн библиотека

Тогда, рассматриваемое уравнение примет вид:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №22 - открытая онлайн библиотека

Его решение, очевидно, есть:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №23 - открытая онлайн библиотека

Последняя формула описывает поворот квантового состояния на сфере Блоха.

Ось поворота и угол вращения есть:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №24 - открытая онлайн библиотека , Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №25 - открытая онлайн библиотека ,

Где Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №26 - открытая онлайн библиотека - частота Раби

Наиболее простая динамика спина- кубита будет наблюдаться в условиях резонанса, когда

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №27 - открытая онлайн библиотека . Практически такой резонанс достигается обычно путем медленного изменения продольного поля Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №6 - открытая онлайн библиотека .

В условиях резонанса в рассматриваемом примере происходит вращение состояния кубита вокруг оси Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №29 - открытая онлайн библиотека

Задача 4.18Пусть начальное состояние кубита есть Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №30 - открытая онлайн библиотека , что соответствует «северному полюсу» на сфере Блоха. Покажите, что в условиях резонанса, чтобы перевести кубит из состояния Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №31 - открытая онлайн библиотека в состояние Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №32 - открытая онлайн библиотека , достаточно выждать в течении времени Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №33 - открытая онлайн библиотека (так называемый Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №34 - открытая онлайн библиотека - импульс). Аналогично, покажите, что воздействие в течении Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №35 - открытая онлайн библиотека приводит к повороту состояния на угол Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №36 - открытая онлайн библиотека вокруг оси Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №29 - открытая онлайн библиотека , что соответствует преобразованию состояния Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №30 - открытая онлайн библиотека в состояние Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №39 - открытая онлайн библиотека

Динамика кубита может быть представлена в виде:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №40 - открытая онлайн библиотека

Задача 4.19Пусть начальное состояние кубита есть Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №30 - открытая онлайн библиотека . Покажите, что вероятность переворота спина (спин- флип) есть:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №42 - открытая онлайн библиотека

Среднее по времени от полученной вероятности есть:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №43 - открытая онлайн библиотека

Последнее выражение, рассматриваемое как функция Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №44 - открытая онлайн библиотека , описывает резонанс на частоте Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №45 - открытая онлайн библиотека .

Заметим, что в реальных экспериментах, как правило, Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №46 - открытая онлайн библиотека

Приведём некоторые данные, необходимые для проведения численных оценок

Магнитный момент электрона:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №47 - открытая онлайн библиотека , где

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №48 - открытая онлайн библиотека - магнетон Бора.

Небольшое отличие отношения Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №49 - открытая онлайн библиотека от единицы называется аномальным магнитным моментом электрона. Теоретическое объяснение этого эффекта, согласующееся с экспериментом с очень высокой точности, является важным достижением квантовой электродинамики.

Магнитный момент протона есть:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №50 - открытая онлайн библиотека , где

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №51 - открытая онлайн библиотека - ядерный магнетон

Большое отличие магнитного момента протона от ядерного магнетона является следствием сложной (кварковой) структуры частицы (заметим, что в теории Дирака частица предполагается точечной).

Нейтрон, несмотря на нулевой заряд, также обладает магнитным моментом, который равен (в ядерных магнетонах)

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №52 - открытая онлайн библиотека

Оценим типичные частоты, возникающие при магнитном резонансе

Пусть продольное поле есть: Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №53 - открытая онлайн библиотека

Тогда для электрона получаем: Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №54 - открытая онлайн библиотека ,

Резонансная частота есть: Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №55 - открытая онлайн библиотека

Аналогично для протона:

Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №56 - открытая онлайн библиотека ,

Резонансная частота протона: Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс - №57 - открытая онлайн библиотека