Введение в квантовое исправление ошибок

Повышение надежности передачи и хранения информации достигается посредством избыточности. Например, в трехбитовом коде каждый логический бит информации задаётся тремя физическими битами

Введение в квантовое исправление ошибок - №1 - открытая онлайн библиотека

В рассматриваемом случае реализуется мажоритарная система исправления ошибок (принятие решения на основе большинства голосов). В случае трехбитового кодирования сообщение (логический бит) передаётся правильно, если число ошибок в физических битах равно нулю или единице. Соответственно, сообщение может быть передано неверно, если ошибок две или три.

Рассмотрим в качестве простого введения двоичный симметричный канал. Пусть Введение в квантовое исправление ошибок - №2 - открытая онлайн библиотека - вероятность ошибки в одном физическом бите: вероятность превращения нуля в единицу ( Введение в квантовое исправление ошибок - №3 - открытая онлайн библиотека ), либо наоборот, единицы в нуль ( Введение в квантовое исправление ошибок - №4 - открытая онлайн библиотека ). Будем считать обе эти вероятности одинаковыми (отсюда название- симметричный канал). Вероятность безошибочной передачи информации ( Введение в квантовое исправление ошибок - №5 - открытая онлайн библиотека , либо Введение в квантовое исправление ошибок - №6 - открытая онлайн библиотека ), соответственно, равна Введение в квантовое исправление ошибок - №7 - открытая онлайн библиотека .

Задача 5.18 Покажите, что классический трёхбитовый код характеризуется следующей вероятностью ошибки передачи одного логического бита информации

Введение в квантовое исправление ошибок - №8 - открытая онлайн библиотека

Покажите далее, что избыточность увеличивает надежность передачи информации (т.е. Введение в квантовое исправление ошибок - №9 - открытая онлайн библиотека , если Введение в квантовое исправление ошибок - №10 - открытая онлайн библиотека ).

Перейдем теперь к рассмотрению квантового бита (кубита). Рассмотрим вначале так называемый канал с классической ошибкой (название «классическая ошибка» довольно условно).

Такая ошибка описывается действием оператора Введение в квантовое исправление ошибок - №11 - открытая онлайн библиотека (NOT), когда состояние 0 меняется на 1, а состояние 1 меняется на 0:

Введение в квантовое исправление ошибок - №12 - открытая онлайн библиотека , т.е. Введение в квантовое исправление ошибок - №13 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, действие ошибки описывается следующим преобразованием состояния кубита

Введение в квантовое исправление ошибок - №14 - открытая онлайн библиотека

Трёхбитовый код в квантовом исполнении (резервирование одного логического кукубита тремя физическими кубитами) выглядит следующим образом:

Введение в квантовое исправление ошибок - №15 - открытая онлайн библиотека , т.е.

Введение в квантовое исправление ошибок - №16 - открытая онлайн библиотека

Введение в квантовое исправление ошибок - №17 - открытая онлайн библиотека

Реализация рассматриваемого способа кодирования посредством квантовой схемы представлена на рисунке.

Введение в квантовое исправление ошибок - №18 - открытая онлайн библиотека

Рис. 5.11 Квантовая схема кодирования для защиты от классической ошибки

Квантовая схема обеспечивает следующую последовательность преобразований

Введение в квантовое исправление ошибок - №19 - открытая онлайн библиотека

Рассмотрим каким образом добавление вспомогательной системы из двух кубитов в исходном состоянии ноль позволяет детектировать возможное наличие ошибки.

Дополним схему кодирования схемой декодирования и измерения вспомогательной системы.

Введение в квантовое исправление ошибок - №20 - открытая онлайн библиотека

Рис. 5.12 Квантовая схема кодирования, дополненная схемой декодирования и измерения.

Специфика квантового исправления ошибок состоит в том, что мы не можем подвергать измерениям кубиты, несущие информацию (в противном случае эта информация будет утеряна в результате редукции состояния). Вместо измерения информационной системы производится измерение вспомогательной системы. Измерение вспомогательной системы позволяет идентифицировать возможную ошибку и исправить её.

Оказывается, что измерение двух вспомогательных (второго и третьего) кубитов допускает 4 следующие возможности: 11 (когда произошла ошибка в первом кубите), 00 (когда ошибок нет), 10 (ошибка во втором кубите), 01 (ошибка в третьем кубите).

Предположим, например, что возникла ошибка в первом (информационном) кубите, т.е.

Введение в квантовое исправление ошибок - №21 - открытая онлайн библиотека

Тогда, декодирование (правая часть рисунка) приведёт к следующей последовательности преобразований:

Введение в квантовое исправление ошибок - №22 - открытая онлайн библиотека

Измерение второго и третьего кубитов дадут результат 11. Это будет означать, что в первом (информационном) кубите произошла ошибка. Для исправления этой ошибки нужно выполнить преобразование Введение в квантовое исправление ошибок - №11 - открытая онлайн библиотека над информационным кубитом.

Рассмотрим три остальных случая. Если ошибок нет, то последовательность преобразований будет следующей:

Введение в квантовое исправление ошибок - №24 - открытая онлайн библиотека

Убеждаемся, что в результате преобразований информационный кубит не изменился, а вспомогательная система оказалась в состоянии 00.

Если возникла ошибка во втором кубите, то имеем цепочку преобразований:

Введение в квантовое исправление ошибок - №25 - открытая онлайн библиотека

Снова информационный кубит не изменился, а вспомогательная система оказалась теперь в состоянии 10.

Если возникла ошибка в третьем кубите, то аналогично получим:

Введение в квантовое исправление ошибок - №26 - открытая онлайн библиотека

Информационный кубит опять не изменился, а вспомогательная система оказалась теперь в состоянии 01.

Таким образом, рассматриваемые четыре возможности идентифицируют 4 ситуации (отсутствие ошибок, либо ошибка в одном из трёх кубитов).

Рассмотрим теперь случай двух ошибок. Пусть, например, ошибки возникли в 1-ом и 2-ом кубитах. Тогда

Введение в квантовое исправление ошибок - №27 - открытая онлайн библиотека

Если мы будем действовать по схеме, указанной выше, то мы ошибочно сделаем вывод о наличии ошибки в третьем кубите и, таким образом, не сможем идентифицировать ошибку в информационном кубите.

Мы видим, что рассмотренный трёхкубитовый код исправляет гарантированно не более одной ошибки.

Рассмотрим теперь так называемую фазовую ошибку. Эта ошибка сводится к несанкционированному действию оператора сдвига фазы Введение в квантовое исправление ошибок - №28 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, действие фазовой ошибки описывается следующим преобразованием состояния кубита (меняется знак у базисного состояния Введение в квантовое исправление ошибок - №29 - открытая онлайн библиотека )

Введение в квантовое исправление ошибок - №30 - открытая онлайн библиотека

Покажем, что рассмотрение фазовой ошибки можно свести к рассмотрению классической ошибки:

Выполнив преобразование Адамара, перейдем к новому базису:

Введение в квантовое исправление ошибок - №31 - открытая онлайн библиотека

Введение в квантовое исправление ошибок - №32 - открытая онлайн библиотека

Мы видим, что в новом базизе действие фазовой ошибки сводится к тому, что состояния Введение в квантовое исправление ошибок - №33 - открытая онлайн библиотека и Введение в квантовое исправление ошибок - №34 - открытая онлайн библиотека переходят друг в друга ( Введение в квантовое исправление ошибок - №35 - открытая онлайн библиотека , Введение в квантовое исправление ошибок - №36 - открытая онлайн библиотека ). Таким образом, в новом базисе фазовая ошибка сводится к классической ошибке.

Схема кодирования фазовой ошибки изображена на рисунке. Она представляет собой схему кодирования классической ошибки, дополненную преобразованием Адамара для каждого кубита

Введение в квантовое исправление ошибок - №37 - открытая онлайн библиотека

Рис. 5.13 Квантовая схема кодирования для защиты от фазовой ошибки

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нильсен М, Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация: Пер. с англ. Под ред. М.Н. Вялого и П.М. Островского с предисловием К.А. Валиева. - М.: Мир. 2006. 824 с.

2. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: Надежды и реальность. 2-е изд., исп. М.–Ижевск: НИЦ РХД, 2002. 320 с.

3. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А. Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с.

4. Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. Том.1. М.-Ижевск. РХД. 2008. 464с.

5. Валиев К.А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления // Успехи Физических Наук. 2005. Т.175. №1. С.3-39.

6. Ожигов Ю.И. Квантовые вычисления. М. МГУ. 2003.

7. Feynman R. Simulating Physics with Computers // Int. J. Theor. Phys. 1982. V.21. №6/7. P.467-488. См. перевод Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах // сб. «Квантовый компьютер и квантовые вычисления». Т.2. Ижевск. РХД. 1999. с.96-124.

8. Feynman R. Quantum Mechanical Computers // Found. of Phys. 1986. V.16. №6. P.507-531. См. перевод Фейнман Р. Квантовомеханические компьютеры // сб. «Квантовый компьютер и квантовые вычисления». Т.2. Ижевск. РХД. 1999. с.125-156.

9. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М. Советское Радио. 1980. 128с.

10. Китаев А., Шень А., Вялый М. Классические и квантовые вычисления М. МЦНМО. ЧеРо. 1999. 192 с.

11. Grover L.K. Quantum Mechanics Help in Searching for a Needle in a Haystack // Phys. Rev. Lett. 1997. V.78. №2. P.325-328. См. перевод Гровер Л.К. Квантовая механика помогает найти иголку в стоге сена // сб. «Квантовый компьютер и квантовые вычисления». Т.1. Ижевск. РХД. 1999. с.101-109.

12. Shor P. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. LANL Report quant-ph/ 9508027.1995. 28p.

13. Deutsch D. Quantum Theory, the Church- Turing Principle and the Universal Quantum Computer // Proc. Roy. Soc. London. 1985. V.A400. №1818. P.97-117. См. перевод Дойч Д. Квантовая теория принципа Черча- Тьюринга и универсальный квантовый компьютер // сб. «Квантовый компьютер и квантовые вычисления». Т.2. Ижевск. РХД. 1999. с.157-189.

14. Barenco A., Bennett C.H., Cleve C., DiVincenzo D.P., Margolus N., Shor P., Sleater T., Smolin J.A., Weinfurter H. Elementary Gates for Quantum Computation // Phys. Rev. A. 1995. V.52. №5. P.3457-3467.

15. Preskill J. Fault-tolerant quantum computation. LANL Report quant-ph/ 9712048.1997. 58p.

16. Kim Y.H., Kulik S.P., Shih Y.H. Quantum teleportation of a polarization state with a complete Bell state measurement // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P.1370-1373

17. Bartlett S.D., Munro W.J. Quantum Teleportation of Optical Quantum Gates // Phys. Rev. Lett. 2003. V.90. 117901.

18. Mattle K., Weinfurter H., Kwiat P.G., and Zeilinger A. Dense Coding in Experimental Quantum Communication // Phys. Rev. Lett. 1996. V76. P.4656-4659.

19. Kim Y.H., Kulik S.P., Shih Y.H. Bell state preparation using pulsed nondegenerate two-photon entanglement // Phys. Rev.A. 2001. V.63. 060301. 4p.

20. Kim Y.H., Chekhova M.V., Kulik S.P., Rubin M., Shih Y.H. Interferometric Bell state preparation using femtosecond pulse pumped spontaneous parametric down-conversion. 2001. // Phys. Rev. A. V.63. 062301. 11p.

21. Cavity Quantum Electrodynamics. Advances in atomic, molecular and optical physics // Berman P. (editor). Academic Press. San Diego. 1994. 497 p.

22. Münstermann P., Fischer T., Maunz P., Pinkse P.W.H., and Rempe G. Observation of cavity-mediated long-range light forces between strongly coupled atoms // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84.P.4068-4071.

23. Beige A. Ion-trap quantum computing in the presence of cooling // Phys. Rev. A. 2004. V.69. 012303. 11p.

24. Pachos J., Walther H. Quantum computation with trapped ions in an optical cavity // Phys. Rev. Lett. 2002. V.89. 187903. 4p.

25. Childs A., Chuang I.L. Universal quantum computation with two-level trapped ions // Phys. Rev. A. 2001. V.63. 012306. 4p.

26. Gershenfeld N.A., Chuang I.L. Bulk Spin-Resonance Quantum Computation // Science. 1997. V. 275. №1. P.350-356.

27. Vandersypen L.M.K., Steffen M., Breyta G., Yannoni C.S., Sherwood M.H., Chuang I.L. Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance // Nature. Dec. 2001. V.414. P. 883-887.

28. Кокин А.А. Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных спинах. Институт компьютерных исследований. Москва- Ижевск. 2004. 204 с.

29. Bohr N. Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics // in Schilp P.A. (editor), Albert Einstein, Philosopher-Scientist (Library of Living Philosophers, Evanston, Illinois, 1949), P.200-241. Перевод на русский язык: Бор Н. Дискуссия с Эйнштейном по проблемам теории познания в атомной физике. Избранные научные труды в 2-х томах. Т.2. С. 399-433. М. Наука. 1971.

30. Богданов Ю.И. Многопараметрические статистические модели в задачах квантовой информатики // Труды ФТИАН. М. Наука. 2005. Т.18. с.91-118

31. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 648 с.

32. Lukacs E. Characteristic Functions. London. Charles Griffin & Company Limited. 1960.216 p.

33. Прохоров Л.В. Квантовая механика- проблемы и парадоксы. СПб. НИИХ СПбГУ. 2003. 120 с.

34. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М. Наука. 1979. 320с.

35. Robertson H.P. An Indeterminacy Relation for Several Observables and Its Classical Interpretation // Phys.Rev. 1934. V.46. P.794-801

36. Холево А.С. Статистическая структура квантовой теории. М.-Ижевск: Ин-т комп. исслед., 2003. 192 с.

37. Богданов А.Ю., Богданов Ю.И., Валиев К.А. Информация Шмидта и запутанность квантовых систем //Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычислительная математика и кибернетика. 2007.№1; LANL report quant-ph/0512062

38. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М. Наука. 1973. 900 с.

39. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. // Под ред. Ю.В. Прохорова. М:. Большая Российская энциклопедия, 1999. 911 с.

40. Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. М. Физматлит. 2003. 216 с.

41. Богданов Ю.И. Основная задача статистического анализа данных: Корневой подход. М.: МИЭТ, 2002. 96с. Пер. на англ.: Bogdanov Yu. I. Fundamental problem of statistical data analysis: Root approach. M.: MIEE, 2002. 84 p.; Bogdanov Yu. I. Statistical inverse problem // LANL E-print, 2002, arXiv: phys/0211109. 39p.

42. Bogdanov Yu.I. Quantum mechanical view of mathematical statistics // Proceedings of SPIE. 2006. V.6264. 62640E; LANL E-print, 2003, arXiv: quant-ph/0303013. 26 p; New Topics in Quantum Physics Research. Nova Science. 2006. pp. 1-36.

43. Ю.И. Богданов, Унифицированный метод статистического восстановления квантовых состояний, основанный на процедуре очищения // ЖЭТФ. 2009. Т.135. Вып.6.с.1068-1078.

44. Богданов Ю.И., Кривицкий Л.А., Кулик С.П. Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем // Письма в ЖЭТФ. 2003. Т. 78, вып. 6. С. 804-809.

45. Bogdanov Yu.I., Chekhova M.V., Kulik S.P. et al. Statistical reconstruction of qutrits // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. 042303. 16 p.

46. Bogdanov Yu.I., Chekhova M.V., Kulik S.P. et al. Qutrit state engineering with biphotons // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. 230503. 4p.

47. Bogdanov Yu.I., Brida G, Genovese M., Kulik S.P., Moreva E.V., Shurupov A.P. Statistical Estimation of the Efficiency of Quantum State Tomography Protocols // Phys. Rev. Lett. 2010. V.105. 010404. 4p.

48. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики // Собрание научных трудов. Т.1: Квантовая теория. М.: Физматлит, 2002. С. 7-320.

49. Von Neumann J. Mathematische Grudlagen der Quantenmechanik. Berlin. Springer. 1932. См. перевод Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. М. Наука. 1964. 368с.

50. Dirac P.A.M. Relativity and Quantum Mechanics // Fields and Quanta. 1972. V3. P.139-164. (см. перевод Дирак П.А.М. Теория относительности и квантовая механика // Собрание научных трудов. Том III. М. Физматлит. 2004. с. 141-152.)

51. Bogdanov Yu.I. Root estimator of quantum states // LANL E-print, 2003, arXiv: quant-ph/0303014. 26 p; New Topics in Quantum Physics Research. Nova Science. 2006. pp. 129-162.

52. Богданов Ю. И. Основные понятия классической и квантовой статистики: Корневой подход // Оптика и спектроскопия. 2004. Т.96, №5. С.735-746.

53. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Phys. Rev. 1935. V.47. P.777-780. Перевод на русский язык: Эйнштейн А., Подольский Б., Розен Н. Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным? А. Эйнштейн Собрание научных трудов в 4-х томах. Т.3. С. 604-611. М. Наука. 1966.

54. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М. Эдиториал УРСС. 2005. 448 с.

55. Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Лалоэ Ф. Квантовая механика // Пер. с фр. Л.Н. Новикова. В 2-х т. Екатеринбург. Изд-во Урал. Ун-та. 2000.

56. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория М. Наука. 1974. 752 с.

57. Ehrenfest P. Bemerkung über die angenaherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quanten Mechanik // Z. Phys. 1927. 45. S. 455-457. См. перевод: Эренфест П. Замечание о приближенной справедливости классической механики в рамках квантовой механики // в сб. Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей. М. Наука. 1972. с.82- 84.

58. Гильберт Д. Математические проблемы // Избранные труды. Т2. М. Факториал. 1998. с.401- 436.

59. Zee H.D. Roots and Fruits of Decoherence // Seminaire Poincare. 2005. p.115-129.; Zurek W.H. Decoherence and the Transition from Quantum to Classical- Revisited// Ibid. p.1-23.

60. Больцман Л. Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа // Избранные труды. М. Наука. 1984. с.125-189.

61. Гильберт Д. Основы общей теории линейных интегральных уравнений. Глава XXII Обоснование кинетической теории газов // Избранные труды. Т2. М. Факториал. 1998. с.350- 364.

62. Гейзенберг В. О квантовотеоретической интерпретации кинематических и механических соотношений. Избранные труды. М. УРСС. 2001. с. 86-98.

63. Борн М., Иордан П. К квантовой механике. Там же. С. 99-126.

64. Гейзенберг В., Борн М., Иордан П. К квантовой механике. II. Там же. С. 127-175.

65. Hilbert D., Neumann J., Nordheim L. Űber die Grundlagen der Quantenmechanik. 1928. Math. Ann. Bd. 98. s. 1-30.

66. Bell J.S. Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Collected papers on quantum phylosophy. Cambridge University Press. 1993.

67. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с.

68. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. Издание 2-е, дополненное. Москва- Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003. 410 с.

69. Гнеденко Б.В. К шестой проблеме Гильберта // Проблемы Гильберта (сб. статей под ред. Александрова П.С.) М. УРСС. 2000. с.117- 119.

70. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М. Мир, 1989. 448 с.

71. Килин С.Я. Квантовая информация // Успехи Физических Наук. 1999. Т.169. №5. С.507-527.


Содержание стр.
Введение
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных статистических величин.  
1.1. Статистическая интерпретация прямого и обратного преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения  
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов. Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения
1.П. Приложение Дельта- функция и ее свойства.
Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова пространства  
2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация
2.2. Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным величинам
2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса
2. 4. Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
2.6. Информация Фишера
2.7. Неравенство Рао- Крамера
2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
Глава3. Принципы квантовой информатики и шестая проблема Гильберта  
3.1 Постулаты квантовой информатики
3.2 От квантовой информатики к квантовой физике
3.3. Шестая проблема Гильберта
3.4. Обсуждение
3.П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.
Глава 4. Основные логические элементы квантовой информатики и их свойства  
4.1 Квантовые биты
4.2. Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота
4.3. Система кубитов
4.4. Измерение кубитов
4.5. Простейшие квантовые логические элементы
4.6. Преобразование Уолша-Адамара (Walsh-Hadamar Transformation)
4.7. Теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния
4.8. Состояния Белла
4.9. Парадокс (эффект) Эйнштейна - Подольского - Розена
4.10. Неравенство Белла 4.11. Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс
Глава 5. Некоторые алгоритмы квантовой информатики  
5.1 Сверхплотное кодирование.
5.2. Телепортация
5.3. Квантовый параллелизм. Алгоритмы Дойча и Дойча- Джозсы
5.4. Квантовое преобразование Фурье
5.5. Нахождение периода функции
5.6. Факторизация чисел
5.7. Квантовая криптография 5.8. Алгоритм Гровера 5.9. Введение в квантовое исправление ошибок  
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ