Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе

Аналитическое уравнение параболы имеет вид:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №1 - открытая онлайн библиотека . (24)

Параметры уравнения a ,b и cопределяются на основе МНК.

Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №2 - открытая онлайн библиотека (25)

При соблюдении принципа отсчёта времени t от условного нулевого начала система нормальных уравнений (25) преобразуется к следующему виду:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №3 - открытая онлайн библиотека (26)

Решение системы уравнений (26) относительно неизвестных a,b,c позволяет определить параметры уравнения параболы (24).

Методику расчёта параметров уравнений прямой и параболы для данных последнего года рассматриваемого периода (табл.1) иллюстрирует табл.5.

Таблица 5

Расчётная таблица для определения параметров уравнений прямой и параболы

Месяцы Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №4 - открытая онлайн библиотека Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №5 - открытая онлайн библиотека Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №6 - открытая онлайн библиотека Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №7 - открытая онлайн библиотека Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №8 - открытая онлайн библиотека Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №9 - открытая онлайн библиотека  
 
 
январь 1 262,3 -6 -7 573,8 45 442,8 1 296  
февраль 1 250,7 -5 -6 253,5 31 267,5  
март 1 612,0 -4 -6 448,0 25 792,0  
апрель 1 950,0 -3 -5 850,0 17 550,0  
май 2 350,8 -2 -4 701,6 9 403,2  
июнь 2 628,0 -1 -2 628,0 2 628,0  
июль 2 606,0 2 606,0 2 606,0  
август 2 178,2 4 356,4 8 712,8  
сентябрь 1 857,3 5 571,9 16 715,7  
октябрь 1 544,0 6 176,0 24 704,0  
ноябрь 1 200,7 6 003,5 30 017,5  
декабрь 1 144,7 6 868,2 41 209,2 1 296  
Итого 21 584,7 -1 872,9 256 048,7  

При подстановке итоговых данных гр. 2 в формулу (22), итоговых данных гр. 4 и 5 – в формулу (23) параметры уравнения прямой получают следующие значения:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №10 - открытая онлайн библиотека ;

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №11 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, основная тенденция развития ряда отображается уравнением прямой:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №12 - открытая онлайн библиотека

Для определения параметров уравнения параболы итоговые данные гр. 2, 4-7 необходимо подставить в систему уравнений (26):

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №13 - открытая онлайн библиотека

Решая систему, из 2-го уравнения определяют значение b:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №14 - открытая онлайн библиотека .

Затем из 1-го уравнения выражают значение а, через параметр с:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №15 - открытая онлайн библиотека .

Подставляя значение а в 3-е уравнение системы, получаем уравнение относительно с:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №16 - открытая онлайн библиотека .

Решение последнего уравнения позволяет определить значение параметра c, а затем параметра а:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №17 - открытая онлайн библиотека .

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №18 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, параболическая модель ряда имеет вид:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №19 - открытая онлайн библиотека .

Правильность расчёта уровней выровненного ряда динамики проверяется следующим способом: сумма значений уровней эмпирического ряда Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №20 - открытая онлайн библиотека должна совпадать с суммой значений уровней выровненного ряда Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №21 - открытая онлайн библиотека , то есть:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №22 - открытая онлайн библиотека (27)

Для того, чтобы определить, какое из полученных уравнений наиболее адекватно исходному ряду динамики, для каждого из них рассчитывают среднеквадратическое отклонение (среднеквадратическую ошибку) Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №23 - открытая онлайн библиотека , которое определяется по следующей формуле:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №24 - открытая онлайн библиотека , (28)

где m – число параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой m=2, для уравнения параболы m=3).

С целью проверки правильности проведённых расчётов параметров уравнений прямой и параболы, а также выбора наиболее адекватной модели развития изучаемого явления, построена расчётная табл. 6:

Таблица 6

Расчётная таблица

Месяцы Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №4 - открытая онлайн библиотека Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №21 - открытая онлайн библиотека для уравнения Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №27 - открытая онлайн библиотека для уравнения Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №28 - открытая онлайн библиотека для уравнения
прямой параболы прямой параболы прямой параболы
январь 1 262,3 1860,5 1030,2 -598,2 232,1 357808,5452 53850,9154
февраль 1 250,7 1850,2 1458,3 -599,5 -207,6 359376,2704 43102,7425
март 1 612,0 1839,9 1806,7 -227,9 -194,7 51933,3963 37900,3024
апрель 1 950,0 1829,6 2075,3 120,4 -125,3 14496,6416 15711,6197
май 2 350,8 1819,3 2264,3 531,5 86,5 282484,8090 7480,5201
июнь 2 628,0 1809,0 2373,6 819,0 254,4 670734,7923 64733,6072
июль 2 606,0 1788,4 2353,0 817,6 253,0 668414,1644 64014,0601
август 2 178,2 1778,1 2223,1 400,1 -44,9 160045,6032 2020,1429
сентябрь 1 857,3 1767,9 2013,6 89,4 -156,3 8000,9447 24429,6900
октябрь 1 544,0 1757,6 1724,4 -213,6 -180,4 45608,3007 32526,8439
ноябрь 1 200,7 1747,3 1355,4 -546,6 -154,7 298738,7649 23932,7088
декабрь 1 144,7 1737,0 906,8 -592,3 238,0 350794,4138 56620,2025
Итого 21 584,7 21584,7 21584,7 0,0 0,0 3268436,6466 426323,3555

Равенство итоговых значений гр.2,3,4 показывает, что согласно критерию 27 расчёты коэффициентов уравнений прямой и параболы выполнены правильно. Графики соответствующих сглаживающих кривых представлены на рис.4.

0,0
500,0
1 000,0
1 500,0
2 000,0
2 500,0
3 000,0
Месяцы

Рис. 4. Сглаживание ряда динамики объёмов реализации продукции методом аналитического выравнивания по прямой и параболе

Для выбора наиболее адекватной модели развития ряда (прямой или параболы) необходимо рассчитать среднеквадратическое отклонение Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №29 - открытая онлайн библиотекапо формуле (27) с использованием итоговых данных гр.7,8 табл.6.

Для уравнения прямой:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №30 - открытая онлайн библиотека .

Для уравнения параболы:

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №31 - открытая онлайн библиотека .

Вывод. Величина среднеквадратической ошибки , рассчитанная для уравнения параболы значительно меньше, чем для уравнения прямой. Следовательно, уравнение параболы

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №19 - открытая онлайн библиотека

является более адекватной моделью описания тенденции ряда динамики объёмов реализации продукции по сравнению с уравнением прямой

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе - №12 - открытая онлайн библиотека

Этот же вывод подтверждают графики сглаживания ряда динамики на рис.4.

Параболическая форма ряда может объясняться разными причинами, в том числе наличием сезонной компоненты в развитии явления.

Аналитическое выравнивание рядов динамики широко используется при построении прогнозов на основе метода экстраполяции. Применение программных продуктов позволяет при помощи компьютеров оперативно определить адекватное уравнение тренда, на основании которого при необходимости можно делать прогноз.

Задание 3

На основании помесячных данных о динамике объёмов реализации продукции за пятилетний период (табл. 1) необходимо выполнить следующее:

· определить индексы сезонности реализации продукции;

· построить график сезонной волны.

Сделать выводыпо результатам выполнения задания 3.

Выполнение задания 3

Целью выполнения данного задания является выявление сезонной компоненты в динамике объёмов реализации продукции.