Средняя арифметическая и ее свойства

Средняя арифметическая является самой распространенной из средних, применяемых в социально-экономическом анализе. Средняя арифметическая имеет 2 разновидности – простую и взвешенную.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по индивидуальным величинам одного и того же вида:

Средняя арифметическая и ее свойства - №1 - открытая онлайн библиотека ,

где x1, x2, …, xn – индивидуальные значения признака (варианты), n – число индивидуальных величин.

Применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается одинаковое число раз, т.е. средняя рассчитывается по группированным единицам совокупности.

Пример 6.1. Вычислить средний возраст выпускника ВУЗа, возраст которого: 24, 22, 25, 24, 25, 24, 22, 22, 24, 26 лет.

Расчёт по средней арифметической простой:

Средняя арифметическая и ее свойства - №2 - открытая онлайн библиотека года.

Чаще отдельные значения исследуемой совокупности встречаются не один, а много, причем неодинаковое число раз, т.е. представляют собой ряд распределения. В этих случаях рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную:

Средняя арифметическая и ее свойства - №3 - открытая онлайн библиотека ,

где fi - частота (вес) повторения i-й варианты.

Пример 6.2. Для предыдущего примера сгруппируем возраст выпускников по их числу.

Возраст, xi Число выпускников, fi Сумма возрастов, xi·fi
Сумма

Средняя арифметическая и ее свойства - №4 - открытая онлайн библиотека .

Также часто группировочные признаки представлены не одной величиной, а в определенных интервалах, такие ряды называются интервальными. Средняя арифметическая интервального ряда рассчитывается следующим образом:

Средняя арифметическая и ее свойства - №5 - открытая онлайн библиотека ,

где Средняя арифметическая и ее свойства - №6 - открытая онлайн библиотека - середина i-го интервала, Средняя арифметическая и ее свойства - №7 - открытая онлайн библиотека - верхняя граница i-го интервала, Средняя арифметическая и ее свойства - №8 - открытая онлайн библиотека - нижняя граница i-го интервала, fi - частота (вес) i-го интервала.

Пример 6.3. Распределение рабочих предприятия по возрасту следующее

Группы рабочих по возрасту, лет Число рабочих, fi Середина интервала, Средняя арифметическая и ее свойства - №9 - открытая онлайн библиотека Средняя арифметическая и ее свойства - №10 - открытая онлайн библиотека
До 20 18,5
20-30
30-40
40-50
Старше 50 57,5
Итого -

Минимальный возраст в первом интервале можно считать 17 (выпускники техникумов), максимальный возраст в последнем интервале – 65 (5 лет после пенсионного возраста мужчин). Тогда средний возраст рабочих составит

Средняя арифметическая и ее свойства - №11 - открытая онлайн библиотека лет.

Свойства средней арифметической:

1) Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин.

Если xi=yi+zi, то

Средняя арифметическая и ее свойства - №12 - открытая онлайн библиотека .

2) Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равна 0.

Средняя арифметическая и ее свойства - №13 - открытая онлайн библиотека

3) Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число, то средняя уменьшится или увеличится на то же число.

4) Если все варианты ряда умножить или разделить на одно и то же число, то средняя уменьшится или увеличится во столько же раз.

5) Если все частоты разделить или умножить на одно и то же число, то средняя не изменится.

Это свойство даёт возможность частоты заменять их удельными весами

Средняя арифметическая и ее свойства - №14 - открытая онлайн библиотека ,

где р - удельный вес, выраженный в процентах.

Если удельный вес выражается в долях, то Средняя арифметическая и ее свойства - №15 - открытая онлайн библиотека .