Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2

К задачам 1…10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2. В этих задачах рассматривается тело, находящееся в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил. Существует три метода решения подобных задач:

1) аналитический, заключающийся в составлении двух уравнений равновесия: Fìх = 0 (1); ∑ Fìy = 0 (2);

2) графический – путем построения в принятом масштабе сил замкнутого силового многоугольника;

3) графоаналитический – путём построения замкнутого силового треугольника без соблюдения масштаба с последующим определением неизвестных сил с помощью тригонометрических соотношений.

Наиболее универсальным методом решения задач на равновесие сходящихся сил является аналитический метод. Графоаналитическим методом можно решать подобные задачи, если в рассматриваемой системе действуют три силы. Точность решения задачи графическим методом зависит от точности соблюдения масштаба сил и направлений их действия при построении силового многоугольника.

Рекомендуется решать задачу аналитически, а затем проверить правильность решения графоаналитическим или графическим методами.

Последовательность решения задачи:

выбирается тело (точка), равновесие которого рассматривается;

это тело освобождается от связей и их действие заменяется реакциями, причём на схеме изображаются действующие активные силы и силы реакций;

выбирается система координатных осей, причём её начало совмещается с точкой, равновесие которой рассматривается, и составляются два уравнения равновесия;

определяются неизвестные силы путём решения составленных уравнений равновесия;

проверяется правильность определения неизвестных сил путём решения задачи другим, не использованным при вычислении неизвестных сил, методом.

Пример 1. К стержню АВ, (рис. 1,а) поддерживаемому в равновесии тросом, перекинутым через блок С, подвешен груз F = 2кН. Определить усилие, возникающее в стержне АВ, и вес груза G, натягивающего трос.

Решение. Решение задачи проводим аналитическим методом, Рассмотрим равновесие точки всех сил А, отбросив связи и заменив их действие реакциями. Рассматриваемая точка А находится в равновесии под действием трёх сил:

силы тяжести груза F реакции RАВ стержня АВ и реакции G троса АС, равной весу груза F. Трос АС – растянут, поэтому направляем вектор, изображающий силу G от точки А, вектор RАВ направляем также от точки А, предполагая, что стержень АВ растянут. (В случае, если это предположение окажется неверным, то искомая реакция стержня, получится в ответе со знаком минус, показывая, что стержень сжат, а истинное направление реакции – к точке А). Расчётная схема показана на рис. 1,б.

Принимаем точку А за начало координат и направляем через неё горизонтально ось Х, а перпендикулярно – ось У (см. рис 1,б).

Составляем два упражнения равновесия для полученной плоской системы сходящихся сил:

∑Fix = 0; RАВ · sin 45o- G sin 30o = 0 (1); RAB · 0,707 – G × 0,5 = 0

∑Fiy = 0; RАВ · cos 45o+ G cos 30o-F = 0 (2); RAB · 0,707 + G × 0,866 - 2 = 0

Решаем полученную систему.

Выражаем из уравнения (1) RАВ; RAB = Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №1 - открытая онлайн библиотека и подставляем в уравнение (2):

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №2 - открытая онлайн библиотека ; Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №3 - открытая онлайн библиотека ; Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №4 - открытая онлайн библиотека

Подставляем найденное значение в уравнение (1) и получаем:

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №5 - открытая онлайн библиотека АВ ·0,707 – 1,46 · 0,5 = 0, откуда RAB = Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №6 - открытая онлайн библиотека = 1,03 кН.

А) Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №7 - открытая онлайн библиотека Б) Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №8 - открытая онлайн библиотека В) Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №9 - открытая онлайн библиотека

Рис. 1

Обе полученные реакции оказались положительными. Это указывает на то, что выбранное направление силы RAB – верное, т.е. стержень растянут.

Необходимо отметить, что каждое из составленных уравнений равновесия содержало оба неизвестных, чего можно было бы избежать, направив иначе координатные оси, т.е. проведя одну из осей (например, ось Х) по направлению действия неизвестной силы (например, вдоль стержня АВ), а другую ось – перпендикулярно.

Правильность решения проверяем графоаналитическим методом с использованием тригонометрических соотношений. Для этого строим замкнутый силовой треугольник (рис. !,в); проводим из произвольной точки С вертикально вниз вектор заданной силы F, через начало и конец которого проводим известные направления реакции RАВ стержня и силы натяжения троса G.

Построенный силовой треугольник сbа решаем, используя теорему синусов:

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №10 - открытая онлайн библиотека = Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №11 - открытая онлайн библиотека = Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №12 - открытая онлайн библиотека

Из решения пропорций находим:

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №13 - открытая онлайн библиотека = Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №14 - открытая онлайн библиотека = 1,46кН

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №15 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, убедились, что G и RAB определены верно.

Пример 2. Под действием горизонтальной силы F = 7,5H (рис. 2а.) тело перемещается равномерно вверх по наклонной плоскости.

Определить вес тела и нормальную реакцию наклонной плоскости, если сила трения

Rf = 1,5 H.

Решение. Проводим решение задачи аналитическим методом. Рассмотрим равновесие тела на наклонной плоскости, заменив действие связей на их реакции.

В точке 0 сходятся линии действия всех действующих на тело сил – вес тела G, горизонтальной силы F, силы трения Rf, направленной вдоль наклонной плоскости вниз и нормальной реакции Rh, перпендикулярной наклонной плоскости.

Расчётная схема показана на рис. 2,б.

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №16 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2

Совместим ось Х с направлением наклонной плоскости, а ось У с направлением неизвестной силы Rn=

Составляем два уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил:

∑Fix = 0; F cos 30o – Rf – Gsin30o = 0 (1)

7,5 · 0,866 – 1,5 –G · 0,5 = 0

∑Fiy = 0; Rn – G cos 30o – F sin 30o = 0 (2)

Rn – G · 0,866- 7,5 · 0,5 = 0

Определяем неизвестные силы G и Rn решаем полученную систему уравнений.

Из уравнения (1): G = (7,5 × 0,866 – 1,5)/0,5 » 10 Н.

Подставляем найденное значение G в уравнение (2) и получаем:

Rn = G · 0,866 + 7,5 · 0,5 = 10 · 0,866 + 7,5 · 0,5 = 12,41 H.

Оба полученных результата – положительны, т.е. выбранные направления сил оказались верными.

Правильность решения задач проверим, определив неизвестные силы графически. Так как система сходящихся сил (рис. 1,б) находится в равновесии, то силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил (например µF = 4 Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №17 - открытая онлайн библиотека ) и строим силовой многоугольник в выбранном масштабе (рис. 2в): от произвольной точки aоткладываем заданную силу F Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №18 - открытая онлайн библиотека , затем из точки b под углом 30о к горизонту откладываем известную силу Rf Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №19 - открытая онлайн библиотека , далее из точек a и cпроводим прямые, параллельные направлениям сил G и Rn.Эти прямые пересекаются в точке d;в результате построения получили силовой многоугольник abcd, в котором сторона Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №20 - открытая онлайн библиотека , а сторона Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №21 - открытая онлайн библиотека .

Измерив длины этих сторон (в см.) и умножив на принятый масштаб сил µF , получим величины сил:

G = cd · µF = 2,6 · 4 » 10,4 H

Rh = d · a · µF = 3,2 · 4 » 12,8H

т.е. примерно такие же значения, как и при аналитическом решении. Необходимо учитывать, что точность графического решения выше, чем точнее выполнено графическое построение и чем крупнее выбран масштаб построения.

К задачам 21…30. Решение этих задач можно начинать изучения тем 1.3. и 1.4. и повторения вопросов, касающихся определения направлений реакций, возникающих в наиболее часто встречающихся видах связей и балочных системах.

В задачах 21…30 требуется определить опорные реакции консольной балки, т.е. балки с одной опорой в виде жесткого защемления. Для такой балки наиболее целесообразно составить уравнение равновесия в форме:

∑FIX = 0 (1); ∑FIУ = G (2); ∑МА = 0 (3) ,

где за центр моментов принять точку в месте защемления. Проверка правильности решения задачи проводится составлением уравнения равновесия моментов всех сил относительно любой другой точки.

Приобретение твердых навыков в определении опорных реакций в жестко защемленных и двухопорных балках необходимо. т.к. именно с этого начинается решение многих задач, рассматриваемых в сопротивлении материалов и деталях машин.

Последовательность решения задачи:

вычерчивается балка с приложенными к ней нагрузками;

выбирается направление осей координат , причем горизонтальная ось Х направляется вдоль оси балки, а ось У – ей перпендикулярна;

балка освобождается от опор, и их действие заменяется опорными реакциями, направленными вдоль осей координат с реактивным моментом;

составляются уравнения равновесия, желательно так, чтобы в каждом из составленных уравнений было бы не более одной неизвестной величины;

определяются неизвестные величины реакций путём решения составленных уравнений равновесия;

проводится проверка вычисленных результатов путём составления дополнительного уравнения, которое не было использовано для определения неизвестных реакций.

Пример 4. Определить опорные реакции, возникающие в консольной балке (рис.4).

Решение. Рассмотрим равновесие жестко защемленной балки с заданными нагрузками. Вычерчиваем эту балку с приложенными к ней силами F1, F2 и моментом М. Направляем ось Х вдоль оси балки и перпендикулярно к ней – ось У (рис.4,а) и выбираем центр вращения т.А.

Отбрасываем связь (заделку) и заменяем её действие реакциями – реактивным моментом МR и составляющими реакциями Rx и Ry по осям координат. Расчетная схема показана на рис. 4,б

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №22 - открытая онлайн библиотека а) Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №23 - открытая онлайн библиотека б)

Рис. 4

Для получения плоской системы произвольно расположенных сил составляем три уравнения равновесия:

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №24 - открытая онлайн библиотека ; - МR + F2 . AB – M + F1y . AD = 0

- MR + 9 .1-7+4.4 =0 (1)

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №25 - открытая онлайн библиотека ; Fix – Rx = 0; 6,93 – Rx = 0 (2)

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №26 - открытая онлайн библиотека ; Ry – F2 – Fiy = 0; Ry- 9 – 4 = 0 (3)

Определяем опорные реакции жестко защемленной балки, решая составленные уравнения равновесия.

Из уравнения (1): MR = 9 . 1 – 7 = 4 . 4 = 9 – 7 + 16 = 18 kHм;

Из уравнения (2): Rx= 6,93 kH;

Из уравнения (3): Ry = 9 + 4 = 13 kH.

Проверяем правильность найденных результатов, составив проверочное уравнение равновесия:

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №27 - открытая онлайн библиотека = Ry . AD – MR – F2.BD – M = 13 . 4 – 18 – 9 . 3 – 7 = 52 – 52 = 0.

Условие равновесия Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №27 - открытая онлайн библиотека = 0 выполняется, следовательно, реакции опор определены верно.

К задачам 41…50. К решению этих задач следует приступить после изучения темы "Центр тяжести" и разбора примера. С целью упрощения решения следует стремиться разбить заданное сложное сечение на возможно меньшее число простых фигур. Пример 6. (рис.6) Для заданного плоского сечения (тонкой однородной пластины) определить положение центра тяжести. Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №29 - открытая онлайн библиотека Рис. 6

Решение. 1. Разбиваем сложное сечение пластины на простые фигуры: I – прямоугольник, II- круг, III – треугольник.

2. Определяем положение центра тяжести каждой простой фигуры С1, С2, С3.

3. Выбираем вспомогательную ось уi так, что всё сечение будет находиться в первой четверти.

4. Определяем площади поперечного сечения каждой простой фигуры А1,

5. Определяем расстояние Х1, Х2, Х3 от центра тяжести каждой простой фигуры до вспомогательной оси Уi

А1 = 310 .120 = 37200 мм2 Х1 = Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №30 - открытая онлайн библиотека

А2 = Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №31 - открытая онлайн библиотека Х2 = 80 мм

А3 = Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №32 - открытая онлайн библиотека Х3 = 210 мм.

6. Так как сечение имеет одну ось симметрии (горизонтальную, то координату у2 определять не надо.

7. Координата центра тяжести ХС определяем по формуле:

Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2 - №33 - открытая онлайн библиотека

8. По полученным координатам ХС, УС находим центр тяжести плоского сечения С.Вывод: Таким образом, плоская однородная пластина имеет координаты центра тяжести С (167мм; 0).