Теория лабораторной работы

Теоретические сведения

Теория лабораторной работы - №1 - открытая онлайн библиотека Пусть к одному концу проволоки или стержня, закрепленного с другого конца, приложена пара сил ff с моментом M (рис. 6). Под действием этой пары сил проволока будет закручиваться. Отдельные поперечные сечения проволоки, перпендикулярные ее оси, будут поворачиваться относительно соседних сечений на некоторые углы. Нижнее сечение повернется относительно верхнего на угол j, который называется углом кручения.

Теория лабораторной работы - №2 - открытая онлайн библиотека Тогда по закону Гука, справедливому для малых деформаций, момент пары сил M будет прямо пропорционален углу кручения:

М = Gкр j,

где Gкр – модуль кручения.

Между модулем кручения Gкр и модулем сдвига материала проволоки G имеется простое соотношение:

Теория лабораторной работы - №3 - открытая онлайн библиотека ,

где L – длина проволоки; R – радиус проволоки; G – модуль сдвига материала проволоки.

Если твердое тело, подвешенное на проволоке, закрутить на малый угол j и предоставить самому себе, то оно будет вращаться вокруг оси, совпадающей с осью проволоки. При вращении твердое тело будет совершать колебания вокруг первоначального положения равновесия. Такие колебания вращающегося тела являются крутильными колебаниями, а твердое тело – крутильным маятником.

Второй закон Ньютона для вращательного движения в случае крутильного маятника запишется в виде: M = – Ie.

Здесь M – вращающий момент относительно оси проволоки; I – момент инерции тела относительно той же оси; Теория лабораторной работы - №4 - открытая онлайн библиотека – угловое ускорение.

Знак «минус» возник вследствие того, что направление вращающего момента M противоположно направлению углового ускорения e.

Таким образом, Теория лабораторной работы - №5 - открытая онлайн библиотека .

При кручении M = Gкрj, поэтому Теория лабораторной работы - №6 - открытая онлайн библиотека Теория лабораторной работы - №7 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда для крутильного маятника угловое ускорение:

Теория лабораторной работы - №8 - открытая онлайн библиотека ,

т.е. оно прямо пропорционально угловому смещению j и направлено противоположно ему.

Если ускорение тела прямо пропорционально смещению (линейному или угловому) и направлено противоположно ему, то колебания тела являются гармоническими. Коэффициент пропорциональности между ускорением и смещением есть квадрат круговой частоты колебаний. Таким образом, при малых углах кручения крутильный маятник совершает гармоническое колебательное движение.

Угловая частота этих колебаний определяется из уравнения

Теория лабораторной работы - №9 - открытая онлайн библиотека ,

а период полного колебания крутильного маятника Теория лабораторной работы - №10 - открытая онлайн библиотека определяется выражением

Теория лабораторной работы - №11 - открытая онлайн библиотека .

Для периода простого колебания Теория лабораторной работы - №12 - открытая онлайн библиотека имеем:

Теория лабораторной работы - №6 - открытая онлайн библиотека Теория лабораторной работы - №14 - открытая онлайн библиотека . (3)

Описание установки

Прибор для определения модуля сдвига состоит из кронштейна, укрепленного на стене, в котором зажата проволока ОО/ из испытуемого материала. К нижнему концу проволоки прикреплен горизонтальный стержень рр/ с резьбой (рис. 7), на который навинчиваются грузы (цилиндры) массами m и m1. Эти грузы навинчиваются в двух положениях: aa1 и bb1. Массы грузов одинаковы: m = m1. Если такую систему закрутить на малый угол и предоставить самой себе, то ее можно рассматривать как крутильный маятник, период простого колебания которого определяется выражением (3).

 
  Теория лабораторной работы - №15 - открытая онлайн библиотека

В данной работе определяются два периода колебаний маятника, соответствующие двум положениям грузов на стержне (рис. 7).

Пусть I1 – момент инерции системы, когда грузы находились в положении aa1, I2 – момент инерции системы, когда грузы находились в положении bb1, I0 – момент инерции стержня относительно оси ОО/.

Тогда: Теория лабораторной работы - №16 - открытая онлайн библиотека , Теория лабораторной работы - №17 - открытая онлайн библиотека . (4)

Период простого колебания маятника, соответствующий положению грузов aa1:

Теория лабораторной работы - №18 - открытая онлайн библиотека , (5)

Период простого колебания, соответствующий положению грузов bb1:

Теория лабораторной работы - №19 - открытая онлайн библиотека .

Из уравнений (4) и (5) находим: Теория лабораторной работы - №20 - открытая онлайн библиотека ,

Откуда: Теория лабораторной работы - №21 - открытая онлайн библиотека . (6)

Из уравнений (17) исключаем l0:

Теория лабораторной работы - №22 - открытая онлайн библиотека .

Подставив сюда выражение для I2, из выражения (6) найдем

Теория лабораторной работы - №23 - открытая онлайн библиотека

Модуль кручения Gкр находим из формулы (5), подставив в нее выражение для I1:

Теория лабораторной работы - №24 - открытая онлайн библиотека .

Зная модуль кручения Gкр, легко найти модуль сдвига материала проволоки:

Теория лабораторной работы - №25 - открытая онлайн библиотека . (7)