Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения

Рассмотрим результат наблюдений Х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z, в различных наблюдениях за ней. Значения Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №1 - открытая онлайн библиотека будем называть результатами отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения [1].

Под интегральной функцией распределения результатов наблю-дений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №1 - открытая онлайн библиотека в i-м опыте окажется меньшим некоторого теку-щего значения х, от самой величины х:

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №3 - открытая онлайн библиотека (4)

Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие - значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она удовлетворяет следующим свойствам:

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №4 - открытая онлайн библиотека

На рис.2 показаны примеры функций распределения вероятности.

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №5 - открытая онлайн библиотека

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №6 - открытая онлайн библиотека (5)

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + dx , т.е.

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №7 - открытая онлайн библиотека (6)

Свойства плотности распределения вероятности:

· Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №8 - открытая онлайн библиотека - вероятность достоверного события равна 1;
иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

· Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №9 - открытая онлайн библиотека - вероятность попадания случайной величины в интервал от Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №10 - открытая онлайн библиотека до Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №11 - открытая онлайн библиотека .

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №12 - открытая онлайн библиотека (7)

Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (7), обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность - величина безразмерная.

Используя понятия функций распределения, легко получить выражения для вероятностей того, что результат наблюдений Х или случайная погрешность Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №13 - открытая онлайн библиотека примет при проведении измерения некоторое значение в интервале Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №14 - открытая онлайн библиотека или Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №15 - открытая онлайн библиотека .

В терминах интегральной функции распределения имеем:

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №16 - открытая онлайн библиотека

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №17 - открытая онлайн библиотека

т.е. вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.

Заменяя в полученных формулах интегральные функции распределения на соответствующие плотности распределения вероятностей согласно выражению (7), получим формулы для искомой вероятности в терминах дифференциальной функции распределения:



Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №18 - открытая онлайн библиотека (8)
Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №19 - открытая онлайн библиотека (9)

Таким образом, вероятность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала. Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения, и называемую математическим ожиданием результатов наблюдений:

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №20 - открытая онлайн библиотека (10)

В заключение можно дать более строгое определение постоян-ной систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины:

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №21 - открытая онлайн библиотека (11)

а случайной погрешностью - разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №22 - открытая онлайн библиотека (12)

В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения - №23 - открытая онлайн библиотека . (13)

[Титульная страница | Оглавление | Предыдущая страница | Следующая страница ]