Моменты случайных погрешностей

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами [3].

Начальным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

Моменты случайных погрешностей - №1 - открытая онлайн библиотека (14)

представляющий собой математическое ожидание степени Моменты случайных погрешностей - №2 - открытая онлайн библиотека .

При n=1

Моменты случайных погрешностей - №3 - открытая онлайн библиотека (15)

т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.

Центральным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

Моменты случайных погрешностей - №4 - открытая онлайн библиотека (16)

Вычислим первый центральный момент:

Моменты случайных погрешностей - №5 - открытая онлайн библиотека (17)

Таким образом, первый центральный момент результатов наблюдений равен нулю. Важно отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений, поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.

При n=2

Моменты случайных погрешностей - №6 - открытая онлайн библиотека . (18)

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Если математическое ожидание результатов наблюдений можно рассматривать в механической интерпретации как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

Моменты случайных погрешностей - №7 - открытая онлайн библиотека . (19)

С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины Моменты случайных погрешностей - №8 - открытая онлайн библиотека , т. е. вероятность Моменты случайных погрешностей - №9 - открытая онлайн библиотека . Для этого рассмотрим формулу, известную как неравенство Чебышева:



Моменты случайных погрешностей - №10 - открытая онлайн библиотека или Моменты случайных погрешностей - №11 - открытая онлайн библиотека . (20)

Полагая Моменты случайных погрешностей - №12 - открытая онлайн библиотека , можно найти вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется больше Моменты случайных погрешностей - №13 - открытая онлайн библиотека :

Моменты случайных погрешностей - №14 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что погрешность измерения не превысит Моменты случайных погрешностей - №13 - открытая онлайн библиотека , составит соответственно

Моменты случайных погрешностей - №16 - открытая онлайн библиотека

Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности Моменты случайных погрешностей - №9 - открытая онлайн библиотека , меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно Моменты случайных погрешностей - №18 - открытая онлайн библиотека значительно больше 0.89. Так, например, в случае нормального распределения погреш-ностей эта вероятность составляет 0.9973.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий момент случайных погрешностей служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. В общем случае любой нечетный момент случайной погрешности характеризует асимметрию распределения. Действительно, если распределение обладает свойством симметрии, то все функции вида Моменты случайных погрешностей - №19 - открытая онлайн библиотека , где s = l, 3, 5..., являются нечетными функциями Моменты случайных погрешностей - №20 - открытая онлайн библиотека (рис.3).

Поэтому все нечетные моменты, являющиеся интегралами этих функций в бесконечных пределах, должны равняться нулю. Отличие этих моментов от нуля как раз и указывает на асимметрию распределения. Простейшим из нечетных моментов является третий момент Моменты случайных погрешностей - №21 - открытая онлайн библиотека . Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень среднеквадратического отклонения и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию Sk распределения:



Моменты случайных погрешностей - №22 - открытая онлайн библиотека (21)

Моменты случайных погрешностей - №23 - открытая онлайн библиотека

Для иллюстрации сказанного на рис.4 приведены три кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией.

Четвертый момент служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением

Моменты случайных погрешностей - №24 - открытая онлайн библиотека (22)

Число 3 вычитают из отношения Моменты случайных погрешностей - №25 - открытая онлайн библиотека потому, что для широко распространенного нормального распределения погрешностей Моменты случайных погрешностей - №26 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю, более плосковершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные - положительным (рис.5).

Моменты случайных погрешностей - №27 - открытая онлайн библиотека

[Титульная страница | Оглавление | Предыдущая страница | Следующая страница ]