Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения получил широкое применение в практической метрологии, что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей (теоремой Ляпунова), согласно которой распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному во всех случаях, когда результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа независимых факторов, каждый из которых оказывает незначительное действие по сравнению с суммарным действием остальных.

Нормальный закон распределения характеризуется свойствами:

- погрешность может принимать непрерывный ряд значений от Нормальный закон распределения - №1 - открытая онлайн библиотека до Нормальный закон распределения - №2 - открытая онлайн библиотека ;

- равные по абсолютному значению погрешности Нормальный закон распределения - №3 - открытая онлайн библиотека и Нормальный закон распределения - №4 - открытая онлайн библиотека равновероятны;

- малые по абсолютному значению погрешности более вероятны, чем большие.

Нормальный закон распределения описывается выражением

Нормальный закон распределения - №5 - открытая онлайн библиотека , (2.9)

где Нормальный закон распределения - №6 - открытая онлайн библиотека - среднеквадратическое отклонение погрешности Нормальный закон распределения - №7 - открытая онлайн библиотека .

График нормального закона распределения представлен на рисунке 2.1.

Нормальный закон распределения - №8 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.1 – График нормального закона распределения плотности

вероятности случайных погрешностей

Из графиков следует, что центр распределения находится в нуле, т.е. в точке нулевой погрешности Нормальный закон распределения - №7 - открытая онлайн библиотека . По мере удаления от центра распределения вероятность появления погрешности Нормальный закон распределения - №10 - открытая онлайн библиотека уменьшается. Чем больше Нормальный закон распределения - №6 - открытая онлайн библиотека , тем выше вероятность появления более точных результатов измерений, о чем говорит более высокий уровень максимума при большем Нормальный закон распределения - №6 - открытая онлайн библиотека .

В теории вероятностей часто используется понятие дисперсия D, характеризующая рассеяние погрешностей относительно центра распределения

Нормальный закон распределения - №13 - открытая онлайн библиотека . (2.10)

Дисперсия D связана с среднеквадратическим отклонением Нормальный закон распределения - №6 - открытая онлайн библиотека соотношением

Нормальный закон распределения - №15 - открытая онлайн библиотека . (2.11)

Для определения вероятности Нормальный закон распределения - №16 - открытая онлайн библиотека при нормальном законе распределения случайной погрешности Нормальный закон распределения - №7 - открытая онлайн библиотека необходимо вычислить интеграл

Нормальный закон распределения - №18 - открытая онлайн библиотека . (2.12)

Для симметричного интервала распределения погрешностей от Нормальный закон распределения - №19 - открытая онлайн библиотека до Нормальный закон распределения - №20 - открытая онлайн библиотека будем иметь

Нормальный закон распределения - №21 - открытая онлайн библиотека . (2.13)

Если в подинтегральном выражении вероятности Нормальный закон распределения - №22 - открытая онлайн библиотека заменить погрешность Нормальный закон распределения - №7 - открытая онлайн библиотека на относительную Нормальный закон распределения - №24 - открытая онлайн библиотека , получим нормированный нормальный закон распределения плотности вероятностей

Нормальный закон распределения - №25 - открытая онлайн библиотека . (2.14)

График нормированного нормального закона распределения соответствует нормальному закону распределения, приведенному на рисунке 2.1 при Нормальный закон распределения - №26 - открытая онлайн библиотека .

На практике часто используют интеграл вероятностей Нормальный закон распределения - №27 - открытая онлайн библиотека , который численно равен вероятности Нормальный закон распределения - №22 - открытая онлайн библиотека при интегрировании нормированного нормального закона распределения плотности вероятностей в пределах от нуля до z, где Нормальный закон распределения - №29 - открытая онлайн библиотека

Нормальный закон распределения - №30 - открытая онлайн библиотека . (2.15)

Значения интеграла вероятностей Нормальный закон распределения - №27 - открытая онлайн библиотека в зависимости от пределов интегрирования приведены в таблице 2.1. Пользуясь таблицей значений интеграла вероятностей Нормальный закон распределения - №27 - открытая онлайн библиотека можно выполнять вычисления интервала погрешности измерений по заданной вероятности или вероятности по заданным границам погрешности измерений.

Для оценки погрешности измерений используют среднеквадратическое отклонение Нормальный закон распределения - №33 - открытая онлайн библиотека , равновероятную ( Нормальный закон распределения - №34 - открытая онлайн библиотека ) погрешность Нормальный закон распределения - №35 - открытая онлайн библиотека , максимальную ( Нормальный закон распределения - №36 - открытая онлайн библиотека ) погрешность Нормальный закон распределения - №37 - открытая онлайн библиотека .

Таблица 2.1 - Значения интеграла вероятностей Нормальный закон распределения - №27 - открытая онлайн библиотека

z Нормальный закон распределения - №27 - открытая онлайн библиотека z Нормальный закон распределения - №27 - открытая онлайн библиотека z Нормальный закон распределения - №27 - открытая онлайн библиотека
0.00 0.000 0.80 0.576 1.80 0.928
0.20 0.159 1.00 0.683 2.00 0.955
0.40 0.311 1.20 0.770 2.33 0.980
0.50 0.383 1.40 0.839 2.58 0.990
0.60 0.452 1.60 0.89 3.00 0.997

Пользуясь таблицей значений интеграла вероятностей Нормальный закон распределения - №27 - открытая онлайн библиотека можно выполнять вычисления интервала погрешности измерений по заданной вероятности или вероятности по заданным границам погрешности измерений.

Нормальный закон распределения применяют для обработки результатов измерений при числе повторных измерений больше 20.