Обработка результатов прямых измерений

Целью обработки результатов прямых измерений является определение среднего арифметического значения Обработка результатов прямых измерений - №1 - открытая онлайн библиотека измеряемой физической величины как наиболее близкого к истинному значению, отклонение Обработка результатов прямых измерений - №2 - открытая онлайн библиотека среднего арифметического от истинного значения с вероятностью Обработка результатов прямых измерений - №3 - открытая онлайн библиотека , а также выявление конкретного вида закона распределения плотности вероятностей Обработка результатов прямых измерений - №4 - открытая онлайн библиотека случайной погрешности Обработка результатов прямых измерений - №5 - открытая онлайн библиотека .

Для определения среднего арифметического значения Обработка результатов прямых измерений - №1 - открытая онлайн библиотека измеряемой физической величины необходимо выполнить Обработка результатов прямых измерений - №7 - открытая онлайн библиотека равноточных измерений физической величины Обработка результатов прямых измерений - №8 - открытая онлайн библиотека

Обработка результатов прямых измерений - №9 - открытая онлайн библиотека . (2.19)

Среднее арифметическое значение Обработка результатов прямых измерений - №1 - открытая онлайн библиотека фактически является оценкой измеряемой физической величины Обработка результатов прямых измерений - №8 - открытая онлайн библиотека . Затем вычисляется абсолютная погрешность каждого из Обработка результатов прямых измерений - №7 - открытая онлайн библиотека измерений.

Обработка результатов прямых измерений - №13 - открытая онлайн библиотека . (2.20)

Далее по известной в теории вероятностей формуле находится оценка среднеквадратического отклонения Обработка результатов прямых измерений - №14 - открытая онлайн библиотека измерений, характеризующая точность метода измерений

Обработка результатов прямых измерений - №15 - открытая онлайн библиотека . (2.21)

Т.к. среднее арифметическое само обладает случайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднего арифметического Обработка результатов прямых измерений - №16 - открытая онлайн библиотека

Обработка результатов прямых измерений - №17 - открытая онлайн библиотека . (2.22)

Видно, что с увеличением числа измерений одной и той же физической величины точность оценки среднего арифметического увеличивается.

Оценка среднеквадратического отклонения среднего арифметического Обработка результатов прямых измерений - №16 - открытая онлайн библиотека указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение физической величины. В зависимости от класса точности измерительного прибора определяется доверительная вероятность Обработка результатов прямых измерений - №19 - открытая онлайн библиотека . Затем в зависимости от числа n измерений физической величины задается значение интеграла вероятностей Обработка результатов прямых измерений - №20 - открытая онлайн библиотека (при Обработка результатов прямых измерений - №21 - открытая онлайн библиотека ) или вероятность Обработка результатов прямых измерений - №19 - открытая онлайн библиотека в законе распределения Стьюдента (при Обработка результатов прямых измерений - №23 - открытая онлайн библиотека ). По таблицам 2.1 или 2.2, определяется Обработка результатов прямых измерений - №24 - открытая онлайн библиотека или Обработка результатов прямых измерений - №25 - открытая онлайн библиотека , а затем вычисляется доверительный интервал Обработка результатов прямых измерений - №2 - открытая онлайн библиотека отклонения от истинной оценки среднего арифметического значения измеряемой величины Обработка результатов прямых измерений - №27 - открытая онлайн библиотека или Обработка результатов прямых измерений - №28 - открытая онлайн библиотека с вероятностью Обработка результатов прямых измерений - №3 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, истинное значение измеряемой физической величины Обработка результатов прямых измерений - №30 - открытая онлайн библиотека находится между нижней Обработка результатов прямых измерений - №31 - открытая онлайн библиотека и верхней Обработка результатов прямых измерений - №32 - открытая онлайн библиотека границами

Обработка результатов прямых измерений - №33 - открытая онлайн библиотека (2.23)

Результат измерений записывается в виде

Обработка результатов прямых измерений - №34 - открытая онлайн библиотека с вероятностью Обработка результатов прямых измерений - №3 - открытая онлайн библиотека . (2.24)

Обработка результатов прямых измерений ставит своей целью выявление конкретного вида закона распределения плотности вероятностей случайной погрешности. Для этого производятся многократные измерения одной и той же физической величины Обработка результатов прямых измерений - №8 - открытая онлайн библиотека . Полученные значения Обработка результатов прямых измерений - №37 - открытая онлайн библиотека , где Обработка результатов прямых измерений - №38 - открытая онлайн библиотека , содержат погрешности Обработка результатов прямых измерений - №39 - открытая онлайн библиотека . Полученный массив погрешностей используется для построения экспериментальной зависимости Обработка результатов прямых измерений - №40 - открытая онлайн библиотека . Для ее построения весь диапазон значений погрешности Обработка результатов прямых измерений - №41 - открытая онлайн библиотека от Обработка результатов прямых измерений - №42 - открытая онлайн библиотека до Обработка результатов прямых измерений - №43 - открытая онлайн библиотека делится на одинаковые интервалы, число которых N находится по правилу Старджесса

Обработка результатов прямых измерений - №44 - открытая онлайн библиотека . (2.25)

Ширина каждого интервала Обработка результатов прямых измерений - №45 - открытая онлайн библиотека вычисляется в соответствии с выражением

Обработка результатов прямых измерений - №46 - открытая онлайн библиотека . (2.26)

Затем находится число значений Обработка результатов прямых измерений - №47 - открытая онлайн библиотека , где Обработка результатов прямых измерений - №48 - открытая онлайн библиотека , случайной погрешности Обработка результатов прямых измерений - №5 - открытая онлайн библиотека , приходящихся на каждый j – й интервал, причем

Обработка результатов прямых измерений - №50 - открытая онлайн библиотека . (2.27)

Вероятность попадания погрешности Обработка результатов прямых измерений - №41 - открытая онлайн библиотека в j – й интервал определяется как доля значений Обработка результатов прямых измерений - №47 - открытая онлайн библиотека в общем числе значений Обработка результатов прямых измерений - №7 - открытая онлайн библиотека

Обработка результатов прямых измерений - №54 - открытая онлайн библиотека . (2.28)

Распределение плотности вероятностей случайной погрешности Обработка результатов прямых измерений - №5 - открытая онлайн библиотека в пределах каждого Обработка результатов прямых измерений - №56 - открытая онлайн библиотека - го интервала постоянна и равна

Обработка результатов прямых измерений - №57 - открытая онлайн библиотека . (2.29)

Строится гистограмма – ступенчатая характеристика с уровнями Обработка результатов прямых измерений - №58 - открытая онлайн библиотека на каждом интервале d, отвечающая условию

Обработка результатов прямых измерений - №59 - открытая онлайн библиотека . (2.30)

Пример гистограммы приведен на рисунке 2.2

Обработка результатов прямых измерений - №60 - открытая онлайн библиотека Обработка результатов прямых измерений - №61 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.2 – Гистограмма

На основе гистограммы строится практическая зависимость распределения плотности вероятностей Обработка результатов прямых измерений - №40 - открытая онлайн библиотека , которая называется полигоном. Для ее построения соединяют отрезками прямых середины верхних сторон всех прямоугольников гистограммы.

Теоретическая зависимость Обработка результатов прямых измерений - №4 - открытая онлайн библиотека , наилучшим образом описывающая практическую зависимость распределения плотности вероятностей Обработка результатов прямых измерений - №40 - открытая онлайн библиотека ищется подбором некоторой аналитической функции Обработка результатов прямых измерений - №65 - открытая онлайн библиотека , где Обработка результатов прямых измерений - №66 - открытая онлайн библиотека - постоянные коэффициенты, определяемые в соответствии с методом моментов. Суть метода моментов заключается в том, чтобы основные характеристики теоретического и практического законов распределения плотности вероятностей совпадали. Вместе с тем теоретическая зависимость должна удовлетворять основным свойствам законов распределения

Обработка результатов прямых измерений - №67 - открытая онлайн библиотека (2.31)

Если в качестве теоретической зависимости выбран нормальный закон распределения плотности вероятностей, то центр распределения должен быть равен Обработка результатов прямых измерений - №1 - открытая онлайн библиотека и среднеквадратическое отклонение Обработка результатов прямых измерений - №69 - открытая онлайн библиотека погрешности Обработка результатов прямых измерений - №5 - открытая онлайн библиотека должно быть равно оценке Обработка результатов прямых измерений - №14 - открытая онлайн библиотека среднеквадратического отклонения измерений. Таким образом, выражение для теоретического закона распределения плотности вероятностей примет вид

Обработка результатов прямых измерений - №72 - открытая онлайн библиотека . (2.32)

Однако теоретический закон распределения от практического может существенно отличаться. Для оценки степени соответствия этих законов применяют критерий согласия Пирсона (χ2 - «хи-квадрат»). С этой целью вычисляют

Обработка результатов прямых измерений - №73 - открытая онлайн библиотека , (2.33)

где Обработка результатов прямых измерений - №74 - открытая онлайн библиотека - вероятность попадания погрешности Обработка результатов прямых измерений - №5 - открытая онлайн библиотека в Обработка результатов прямых измерений - №56 - открытая онлайн библиотека -й интервал в теоретическом законе распределения.

Вероятность Обработка результатов прямых измерений - №74 - открытая онлайн библиотека можно вычислить по формуле

Обработка результатов прямых измерений - №78 - открытая онлайн библиотека (2.34)

где Обработка результатов прямых измерений - №79 - открытая онлайн библиотека - границы Обработка результатов прямых измерений - №56 - открытая онлайн библиотека -го интервала, или приближенно по формуле

Обработка результатов прямых измерений - №81 - открытая онлайн библиотека , (2.35)

где Обработка результатов прямых измерений - №82 - открытая онлайн библиотека - значение теоретического закона распределения, вычисляемое по формуле (2.32), в точке Обработка результатов прямых измерений - №83 - открытая онлайн библиотека , причем

Обработка результатов прямых измерений - №84 - открытая онлайн библиотека Обработка результатов прямых измерений - №85 - открытая онлайн библиотека . (2.36)

Чем меньше χ2 , тем ближе теоретический закон распределения к практическому. Граничные значения Обработка результатов прямых измерений - №86 - открытая онлайн библиотека , по которым можно судить о соответствии теоретического закона распределения практическому, приведены в таблице 2.3.

Граничное значение Обработка результатов прямых измерений - №86 - открытая онлайн библиотека как функцию параметров Обработка результатов прямых измерений - №88 - открытая онлайн библиотека и Обработка результатов прямых измерений - №89 - открытая онлайн библиотека выбирают из приведенной таблицы 2.3, где Обработка результатов прямых измерений - №88 - открытая онлайн библиотека - число степеней свободы, определяемое из выражения Обработка результатов прямых измерений - №91 - открытая онлайн библиотека ; Обработка результатов прямых измерений - №92 - открытая онлайн библиотека - количество числовых параметров теоретического закона, оцененных по результатам измерений; Обработка результатов прямых измерений - №89 - открытая онлайн библиотека - уровень значимости, численно равный вероятности признания практического закона распределения не соответствующего теоретическому.

Таблица 2.3 – Таблица критических значений Обработка результатов прямых измерений - №86 - открытая онлайн библиотека

  Обработка результатов прямых измерений - №95 - открытая онлайн библиотека Обработка результатов прямых измерений - №96 - открытая онлайн библиотека
0.01 0.05 0.10 0.50
0.020 0.103 0.211 1.386
0.115 0.352 0.584 2.366
0.297 0.711 1.064 3.357
0.554 1.145 1.610 4.351
0.872 1.635 2.204 5.348
1.239 2.167 2.833 6.346

Для нормального закона распределения принимают: Обработка результатов прямых измерений - №97 - открытая онлайн библиотека ; Обработка результатов прямых измерений - №89 - открытая онлайн библиотека - минимальное. Расчетное значение χ2 сравнивают с граничным Обработка результатов прямых измерений - №86 - открытая онлайн библиотека . Если выполняется условие

Обработка результатов прямых измерений - №100 - открытая онлайн библиотека , (2.37)

то гипотезу о соответствии практического закона распределения теоретическому принимают за истину. В противном случае считают гипотезу не соответствующей действительности и строят новую, которая также проверяется.