Обработка результатов совместных измерений

В практике измерений часто возникает необходимость в экспериментальном определении зависимости между двумя или большим числом измеряемых физических величин. Предположим, что между физическими величинами x и y имеет место аналитическая зависимость, которую представим выражением

Обработка результатов совместных измерений - №1 - открытая онлайн библиотека , (2.48)

где Обработка результатов совместных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека - неизвестные коэффициенты, Обработка результатов совместных измерений - №3 - открытая онлайн библиотека .

В результате измерений можно получить n экспериментальных точек с координатами Обработка результатов совместных измерений - №4 - открытая онлайн библиотека на координатной плоскости XOY, причем Обработка результатов совместных измерений - №5 - открытая онлайн библиотека . По расположению экспериментальных точек на координатной плоскости можно сделать предположение о виде аппроксимирующей функции. Ее можно представить какой-либо конкретной функцией, например, синус, тангенс, логарифм, экспонента, арктангенс и др. или полиномом высокой степени. В общем виде аппроксимирующую функцию представим в виде

Обработка результатов совместных измерений - №6 - открытая онлайн библиотека , (2.48)

где Обработка результатов совместных измерений - №7 - открытая онлайн библиотека искомые коэффициенты аппроксимирующей функции, Обработка результатов совместных измерений - №3 - открытая онлайн библиотека .

Необходимо определить коэффициенты Обработка результатов совместных измерений - №7 - открытая онлайн библиотека , используя результаты измерений, выполненные с некоторой погрешностью. Будем считать, что погрешность измерений носит случайный характер и подчиняется нормальному закону распределения плотности вероятности случайных погрешностей. Для решения подобных задач наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов.

Погрешности измерения, а также неточный выбор аппроксимирующей функции являются причиной возникновения погрешности между вычисленным значением функции Обработка результатов совместных измерений - №10 - открытая онлайн библиотека по измеренному значению аргумента Обработка результатов совместных измерений - №11 - открытая онлайн библиотека и измеренным значением функции Обработка результатов совместных измерений - №12 - открытая онлайн библиотека

Обработка результатов совместных измерений - №13 - открытая онлайн библиотека . (2.49)

В соответствии с методом наименьших квадратов аналитическая зависимость будет наилучшим образом описывать экспериментальную, если сумма квадратов погрешности Обработка результатов совместных измерений - №14 - открытая онлайн библиотека будет минимальна.

Обработка результатов совместных измерений - №15 - открытая онлайн библиотека . (2.50)

Для вычисления Обработка результатов совместных измерений - №16 - открытая онлайн библиотека неизвестных коэффициентов Обработка результатов совместных измерений - №7 - открытая онлайн библиотека необходимо записать систему Обработка результатов совместных измерений - №16 - открытая онлайн библиотека уравнений

Обработка результатов совместных измерений - №19 - открытая онлайн библиотека . (2.51)

Или после преобразований в развернутом виде

Обработка результатов совместных измерений - №20 - открытая онлайн библиотека (2.52)

Приведенная система уравнений достаточно просто решается в системе MathCad. Средствами MathCad может быть организована и вся процедура вычисления коэффициентов аппроксимирующей функции по методу наименьших квадратов.

Нормирование метрологических характеристик средств

Измерений

Важнейшей метрологической характеристикой является погрешность средства измерения. Она может быть представлена в форме абсолютной ( Обработка результатов совместных измерений - №21 - открытая онлайн библиотека или Обработка результатов совместных измерений - №22 - открытая онлайн библиотека ), относительной ( Обработка результатов совместных измерений - №23 - открытая онлайн библиотека ) или приведенной ( Обработка результатов совместных измерений - №24 - открытая онлайн библиотека ). Указанные погрешности могут быть основными, когда средство измерений работает в нормальных условиях, и дополнительными, когда средство измерений работает за пределами нормальных условий. Нормирование (установка норм) основной и дополнительной погрешностей выполняется отдельно, но по одной и той же схеме.

Основной показатель средства измерения, по которому прибор допускается к применению является предел допустимой погрешности. Способы выражения предела допустимой погрешности установлены ГОСТ 8.401-80 «Классы точности средств измерений. Общие требования». Рассмотрим формы аналитического представления предела допустимой погрешности (основной и дополнительной).

Пределы допустимой абсолютной погрешности, выраженные в единицах измеряемой величины или в делениях шкалы, устанавливают в соответствии с формулами

Обработка результатов совместных измерений - №25 - открытая онлайн библиотека , (2.53)

где погрешность Обработка результатов совместных измерений - №22 - открытая онлайн библиотека представлена только аддитивной (не зависящей от измеряемой величины) составляющей;

Обработка результатов совместных измерений - №27 - открытая онлайн библиотека , (2.54)

где погрешность Обработка результатов совместных измерений - №22 - открытая онлайн библиотека представлена аддитивной и мультипликативной (пропорциональной измеряемой величине) составляющими.

Пределы допустимой относительной погрешности, выраженные в безразмерных единицах, устанавливают в соответствии с формулами

Обработка результатов совместных измерений - №29 - открытая онлайн библиотека , (2.55)

где погрешность Обработка результатов совместных измерений - №22 - открытая онлайн библиотека представлена выражением (2.53);

Обработка результатов совместных измерений - №31 - открытая онлайн библиотека , (2.56)

где погрешность Обработка результатов совместных измерений - №22 - открытая онлайн библиотека представлена выражением (2.54); Обработка результатов совместных измерений - №33 - открытая онлайн библиотека - конечное значение диапазона измерений.

Пределы допустимой приведенной погрешности, выраженные в безразмерных единицах, устанавливают в соответствии с формулой

Обработка результатов совместных измерений - №34 - открытая онлайн библиотека , (2.57)

где Обработка результатов совместных измерений - №35 - открытая онлайн библиотека - нормирующее значение, выраженное в единицах погрешности Обработка результатов совместных измерений - №22 - открытая онлайн библиотека , причем Обработка результатов совместных измерений - №35 - открытая онлайн библиотека выбирают равным модулю большего из пределов измерений при нулевой метке в начале шкалы или сумме модулей пределов измерений при нулевой метке в середине шкалы.

В выражениях (2.53) - (2.57) коэффициенты Обработка результатов совместных измерений - №38 - открытая онлайн библиотека - положительные числа, выбранные из предпочтительного ряда Обработка результатов совместных измерений - №39 - открытая онлайн библиотека где Обработка результатов совместных измерений - №40 - открытая онлайн библиотека и т.д.

Представленные формулы записи пределов допускаемой погрешности используются для установления класса точности средства измерения. Класс точности средства измерения – обобщенная характеристика средства измерения, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, значения которых устанавливаются стандартами. При нормировании относительной погрешности классы точности обозначают арабскими цифрами в виде десятичных дробей или отношения десятичных дробей. При нормировании допускаемой абсолютной основной погрешности классы точности обозначают прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами, при этом более высокому классу соответствуют начальные буквы или меньшие цифры. Правила и примеры обозначения классов точности измерительных приборов приведены в таблице 2.4

Таблица 2.4 – Примеры обозначения классов точности измерительных

приборов

Формула для предельной основной погрешности Пределы допустимой основной погрешности, % Обозначение класса точности
  в документации на измерительном приборе
Обработка результатов совместных измерений - №34 - открытая онлайн библиотека   Обработка результатов совместных измерений - №42 - открытая онлайн библиотека Класс точности 1,5   1,5
Обработка результатов совместных измерений - №43 - открытая онлайн библиотека   Обработка результатов совместных измерений - №44 - открытая онлайн библиотека Класс точности Обработка результатов совместных измерений - №45 - открытая онлайн библиотека   Обработка результатов совместных измерений - №46 - открытая онлайн библиотека
Обработка результатов совместных измерений - №25 - открытая онлайн библиотека , Обработка результатов совместных измерений - №27 - открытая онлайн библиотека Обработка результатов совместных измерений - №49 - открытая онлайн библиотека Обработка результатов совместных измерений - №50 - открытая онлайн библиотека Класс точности L Класс точности M L M