Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки

Для того чтобы выявить случайную ошибку измерений, необходимо повторить измерение несколько раз. Если каждое измерение дает несколько отличные от других измерений результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная ошибка играет существенную роль.

За наиболее вероятное значение измеряемой величины следует принять её среднее арифметическое значение, вычисленное из всего ряда измеренных значений. Допустим, что сделано N измерений. Разумеется, что они проделаны одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности. Такие измерения называют равноточными.

Для оценки величины случайной ошибки измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или средней квадратичной ошибки. Иногда применяется средняя арифметическая ошибка.

Средней квадратичной ошибкой называется величина

Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №1 - открытая онлайн библиотека .

Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина sn стремится к некоторому постоянному значению σ, которое можно назвать статистическим пределом sn: σ=lim sn, при n→∞.

Собственно говоря, именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Квадрат этой величины называется дисперсией измерений. В действительности мы всегда вычисляем не величину σ, а её приближенное значение sn, которое тем ближе к σ, чем больше n.

Относительная величина средней квадратичной ошибки w, выраженная в процентах, носит название коэффициента вариации

Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №2 - открытая онлайн библиотека .

Средняя арифметическая ошибка rn вычисляется по формуле Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №3 - открытая онлайн библиотека .

Обозначение Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №4 - открытая онлайн библиотека выражает, что при подсчете все разности считаются положительными, без учета их действительного знака; иначе говоря, суммируются абсолютные значения величин Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №5 - открытая онлайн библиотека .

Точно так же, как и для средней квадратичной ошибки, истинное значение средней арифметической ошибки ρ определяется соотношением ρ = lim rn, при n→∞.

Обозначим истинное значение измеряемой величины через x. Её среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №6 - открытая онлайн библиотека , а погрешность измерения этой величины Δx. Пусть a означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем Δх. Это принято записывать в виде

Р( Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №7 - открытая онлайн библиотека - Δх < х < Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №8 - открытая онлайн библиотека + Δх) = а.

Вероятность а носит название доверительной вероятности, или коэффициента надежности. Интервал значений от Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №7 - открытая онлайн библиотека - Δх до Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №8 - открытая онлайн библиотека + Δх называется доверительным интервалом.

Это выражение означает, что с вероятностью, равной а, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №7 - открытая онлайн библиотека - Δх до Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки - №8 - открытая онлайн библиотека + Δх. Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем больше получается соответствующий доверительный интервал, и наоборот: чем больший доверительный интервал мы задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы.

Мы пришли к очень важному заключению: для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно: величину самой ошибки (или доверительного интервала) и величину доверительной вероятности. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата. При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95.

Удобство применения стандартной ошибки в качестве основного численного выражения погрешности наблюдений заключается в том, что этой величине соответствует вполне определенная доверительная вероятность, равная 0,68 (2σ→0,95, 3σ→0,997).