Надежность сложных систем с последовательным

Соединением элементов

Пусть система состоит из n последовательно соединенных элементов, вероятности безотказной работы которых обозначим через p1(t), p2 (t), ..., pn(t). Так как элементы, входящие в состав системы, являются независимыми, то вероятность безотказной работы системы определяется как произведение вероятностей составляющих её элементов

Надежность сложных систем с последовательным - №1 - открытая онлайн библиотека

Если вероятности р1(t), р1(t), ...., рn(t)близки к 1, то для вычисления

рс(t) удобно применять приближенную формулу

Надежность сложных систем с последовательным - №2 - открытая онлайн библиотека

где q i ( t ) = 1 - p i ( t ).

Если элементы равнонадежны, т.е. р1(t) = р2(t) =  ... = рn(t) = р(t), то

Надежность сложных систем с последовательным - №3 - открытая онлайн библиотека

где n - число элементов.

Интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов

Надежность сложных систем с последовательным - №4 - открытая онлайн библиотека

В частном случае, когда функции надёжности составляющих элементов имеют экспоненциальное распределение с постоянными интенсивностями отказов, функция надёжности системы определяется по формуле

Надежность сложных систем с последовательным - №5 - открытая онлайн библиотека

Одной из важнейших характеристик безотказности системы является среднее время жизни. Для случая экспоненциального распределения среднее время жизни системы равно

Надежность сложных систем с последовательным - №6 - открытая онлайн библиотека

Частота отказов системы с последовательным соединением элементов

Надежность сложных систем с последовательным - №7 - открытая онлайн библиотека

Примеры решения задач

Задача 5.1. Система состоит из пяти блоков. Отказ одного из них ведет к от­казу системы. Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказ­ной работы в течение времени t, которая равна p1(t) = 0,98; p2(t) = 0,99; p3(t) = 0,97; p4(t) = 0,985; p5(t) = 0,975. Требуется определить вероятность безотказ­ной работы системы.

Решение

Вероятности р1, р2, ...., р5 близки к 1, поэтому вычислить рс(t) удобно

применив приближенную формулу (5.2)

Надежность сложных систем с последовательным - №8 - открытая онлайн библиотека

       Вычислим предварительно qi: q1 = 0,02; q2 = 0,01; q3 = 0,03; q4 = 0,015; q5 = 0,025

р с ( t ) = 1 - (0,02 + 0,01 + 0,03 + 0,015 + 0,025) = 0,9

Задача 5.2. Система состоит из 12600 элементов, отказ каждого из которых ведет к отказу системы. Средняя интенсивность отказов элементов равна 0,32-10-6 1/ч. Необходимо определить среднюю наработку до отказа, частоту отказов и вероятность безотказной работы системы в течение 50 ч.

Решение

    Интенсивность отказов системы вычисляем следующим образом

Надежность сложных систем с последовательным - №9 - открытая онлайн библиотека

тогда

Надежность сложных систем с последовательным - №10 - открытая онлайн библиотека

Задача 5.3. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов пер­вого устройства равна Х1 = 0,16-10-3 1/ч = must. Интенсивности отказов двух других устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами

l2 = 0,23× Надежность сложных систем с последовательным - №11 - открытая онлайн библиотека t 1/ч; l3 = 0,06× Надежность сложных систем с последовательным - №12 - открытая онлайн библиотека t 1/ч.

Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы си­стемы в течение 100 часов.

Решение.

Определяем интенсивность отказов системы

lс = l1 + l2 + l3 = 0,16× Надежность сложных систем с последовательным - №13 - открытая онлайн библиотека  + 0,23× Надежность сложных систем с последовательным - №11 - открытая онлайн библиотека ×100 + 0,06× Надежность сложных систем с последовательным - №12 - открытая онлайн библиотека ×100 =

= 0,00016 +0,0023 + 0,000006 = 0,2466× Надежность сложных систем с последовательным - №16 - открытая онлайн библиотека  (1/час).

    Вероятность безотказной работы в течение 100 часов

Надежность сложных систем с последовательным - №17 - открытая онлайн библиотека

Задача 5.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной ра­боты каждого из устройств в течение 100 часов равны р1 = 0,95; р2 = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти сред­нюю наработку до первого отказа системы.

Решение.

    Определяем вероятность безотказной работы системы

Рс(100) = 0,95*0,97 = 0,92.

    Определим интенсивность отказов системы

Надежность сложных систем с последовательным - №18 - открытая онлайн библиотека

    Наработка системы до отказа

Надежность сложных систем с последовательным - №19 - открытая онлайн библиотека

Задача 5.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение вре­мени t равна р( t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной ра­боты системы, состоящей из 100 таких элементов.

Решение.

Вероятность безотказной работы системы

Надежность сложных систем с последовательным - №20 - открытая онлайн библиотека

Задача 5.6. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна 0,95. Система состоит из 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение

    Вероятность безотказной работы элемента

Надежность сложных систем с последовательным - №21 - открытая онлайн библиотека

Задача 5.7. При проектировании системы предполагается, что сложность ее

не должна превышать Nc = 2500 элементов. Необходимо при обсуждении проекта технического задания определить, может ли быть спроектирована система, к которой предъявлено требование Тср.с = 120 ч.

Решение

Определим интенсивность отказов системы

Надежность сложных систем с последовательным - №22 - открытая онлайн библиотека

Определим интенсивность отказов одного элемента

Надежность сложных систем с последовательным - №23 - открытая онлайн библиотека

Определим вероятность безотказной работы одного элемента в течение 120 часов

Надежность сложных систем с последовательным - №24 - открытая онлайн библиотека

Обеспечить такую высокую вероятность безотказной работы элемента весьма затруднительно. Поэтому следует либо уменьшить количество эле­ментов системы, либо среднюю наработку до отказа.

Задача 5.8. В системе 2500 элементов и вероятность безотказной работы ее в течение 1 ч составляет 98%. Предполагается, что все элементы равнонадеж­ные. Требуется вычислить среднюю наработку до первого отказа системы интенсивность отказов элементов и частоту отказов.

Решение

Определим интенсивность отказов системы

Надежность сложных систем с последовательным - №25 - открытая онлайн библиотека

Задача 5.9. Система состоит из 6200 элементов, отказ каждого из которых ве­дет к отказу системы. Средняя интенсивность отказов элементов равна

0,14-10-4 1/ч. Необходимо определить среднюю наработку до отказа, частоту отказов и вероятность безотказной работы системы в течение 120 ч.

Задача 5.10. Система состоит из четырех устройств. Вероятности безотказной работы каждого из устройств в течение 120 часов равны Надежность сложных систем с последовательным - №26 - открытая онлайн библиотека  = 0,95; Надежность сложных систем с последовательным - №27 - открытая онлайн библиотека  = 0,97; Надежность сложных систем с последовательным - №28 - открытая онлайн библиотека  = 0,90; Надежность сложных систем с последовательным - №29 - открытая онлайн библиотека  = 0,87. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необ­ходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы.